入门动态规划请移步动态规划：基本概念以及面试常见题型
一篇文章搞定背包型问题
什么是背包型动态规划
- 给出 n 个物品及其大小， 问是否能挑选出一些物品装满大小为 m 的背包
- 题目中通常有 “和” 以及 “差”的概念，数值会被放到状态中
- 通常是二维的状态数组， 前 i 个组成和为j状态数组的大小需要开(n+1)*(m+1)
背包问题: 动规 vs 搜索
使用组合型深度优先搜索，时间复杂度 O(n * 2^n) 而动态规划的时间复杂度是 O(n * m) 动态规划是否一定更好?
只有在m>>2^n的时候，动态规划才弱于搜索，所以大部分情况下，动态规划都是一个最优的选择
背包问题分类
经典的 01 背包问题
什么是 01
每个物品要么挑0个(不挑)要么挑1个，所以叫 01。
如果一个物品可以被分割，就不是01背包，如果一个物品可以选多份，就叫多重背包
给出 n 个物品及其大小，问是否能挑选出一些物品装满大小为 m 的背包。
状态表示：
- 状态 state
dp[i][j] 表示前 i 个物品里挑出若干物品组成和为 j 的大小是否可行
两个关键点: 前 & 和 - 方程 function
dp[i][j]=dp[i-1][j] or dp[i-1][j-A[i-1]] 如果j>=A[i-1]
dp[i][j]=dp[i-1][j]如果 j<A[i-1]
第i个数的下标是i-1，所以用的是A[i-1]而不是A[i] - 初始化 initialization
dp[0][0] = true
dp[0][1…m] = false - 答案 answer
使得dp[n][v],0s<=v<=m为true的最大v
例题
描述：
在n个物品中挑选若干物品装入背包，最多能装多满？假设背包的大小为m，每个物品的大小为A[i]
样例
样例 1:
输入: [3,4,8,5], backpack size=10
输出: 9
样例 2:
输入: [2,3,5,7], backpack size=12
输出: 12
答案：
public class Solution {
/**
* @param m: An integer m denotes the size of a backpack
* @param A: Given n items with size A[i]
* @return: The maximum size
*/
public int backPack(int m, int[] A) {
// write your code here
int n = A.length;
//state: dp[i][j] 前 i 个数里能否挑出和为 j
//前x个数我们的数组长度都需要开 x +1
boolean[][] dp = new boolean[n + 1][m + 1];
dp[0][0] = true;
//function
for(int i = 1; i <= n; i++){
for(int j = 0; j <= m; j++){
if(j >= A[i - 1]){
dp[i][j] = dp[i-1][j] || dp[i-1][j-A[i-1]];
}else{
dp[i][j] = dp[i-1][j];
}
}
}
//answer
for(int v = m; v >= 0; v--){
if(dp[n][v]){
return v;
}
}
return -1;
}
}
//version 2
//dp[i][j] 表示前 i 个数里挑出若干个数总和 <= j 的最大和是多少
public int backPack(int m, int[] A) {
// write your code here
if(A == null || A.length == 0){
return 0;
}
int n = A.length;
int[][] dp = new int[n + 1][m + 1];
for(int i = 1; i <= n; i++){
for(int j = 0; j <= m; j++){
if(j >= A[i-1]){
dp[i][j] = Math.max(
dp[i-1][j],
dp[i-1][j-A[i-1]] + A[i-1]
);
}else{
dp[i][j] = dp[i-1][j];
}
}
}
return dp[n][m];
}
背包问题的重复子问题是什么?
[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10000]
比如要凑出和为 10010 前10个数里组合出和为10的方法有5种 这5种组合方式就是重复子问题，因为他们凑出来的和都是10 对于后面 + 10000 之后组成 10010 的影响是一样的 我们不关心 10 是怎么凑的，只关心 10 能不能被凑出来
01背包的三种变形
1.最小划分
描述
给出一个正整数数组，写一个程序把这个整数数组分成S1跟S2两部分，使S1中的和跟S2中的和的差的绝对值最小。
也就是如果有一个一个整数数组 S 有 n 个数，如果Subset1有 m 个数，Subset2必须有 n-m 个数并且 abs(sum(Subset1) – sum(Subset2)) 应该最小
样例
样例1
输入: nums = [1, 6, 11, 5]
输出: 1
解释:
Subset1 = [1, 5, 6]，和是12
Subset2 = [11]，和是11
abs(11 - 12) = 1
样例2
输入: nums = [1, 2, 3, 4]
输出: 0
解释:
Subset1 = [1, 4], 和是 5
Subset2 = [2, 3], 和是5
abs(5 - 5) = 0
题型变换
设整个数组所有数之和为 SUM,其中一个较小的数组之和为 X 问题变为求 |SUM - X - X| = |SUM - 2X| 的最小值
即求使得 X 尽可能接近 SUM/2 的最大值= 数组中挑出若干数尽可能的填满一个大小为 SUM/2 的背包
思路：
先计算所有数的和，然后取一半halfsum。用boolean[] dp来检查array里面取一些数的和能否组成0～halfsum。
然后从后往前检查dp，遇到的第一个true所代表的i就是array里面取得的数能够组成的最接近总和一半的最大和。
最终两个set的差是sum - 2*i
Code
最终两个set的差是sum - 2*i
public class Solution {
public int findMin(int[] arr) {
int sum = 0;
for(int i = 0; i < arr.length; i++){
sum += arr[i];
}
boolean[] dp = new boolean[sum / 2 + 1];
dp[0] = true;
int min = Integer.MAX_VALUE;
for(int num : arr){
for(int j = sum / 2; j >= num; j--){
dp[j] |= dp[j - num];
}
}
int i = 0;
for (i = dp.length - 1; i >= 0; i--) {
if (dp[i]) {
break;
}
}
return sum - 2 * i;
}
}
2.外卖优惠券
你有一张满 X 元减 10 元的满减券和每个菜品的价格(整数)，每 个菜最多只买一份。问最少买多少钱可以用得上这张外卖券?
题型变换：
挑选若干数之和 >= X 且和最小
= 挑选出一些“不加入购物车”的菜品 尽可能填满一个 SUM - X 的背包
3.石头碰撞
描述：
给出 N 个石头及其大小数组 每次选 2 个石头进行碰撞，大小分别为 x,y
碰撞之后会变成一个石头，大小变为 |x - y| 直到石头个数 < 2为止 问最后剩下来的石头最小是多少?
题型变换：
本质上这个题的答案=最小划分那一题的答案
带价值的01背包
描述
有 n 个物品和一个大小为 m 的背包. 给定数组 A 表示每个物品的大小和数组 V 表示每个物品的价值.
问最多能装入背包的总价值是多大?
样例
样例 1:
输入: m = 10, A = [2, 7], V = [1, 4]
输出: 9
解释: 装入 A[1] 和 A[3] 可以得到最大价值, V[1] + V[3] = 9
样例 2:
输入: m = 10, 8], V = [2, 8]
输出: 10
解释: 装入 A[0] 和 A[2] 可以得到最大价值, V[0] + V[2] = 10
public int backPackII(int m, int[] A, int[] V) {
// write your code here
if(A == null || V == null){
return 0;
}
int n = A.length;
int[][] dp = new int[n+1][m+1];
for(int i = 1; i <=n; i++){
for(int j = 0; j <= m; j++){
if(j >= A[i-1]){
dp[i][j] = Math.max(
dp[i-1][j],
dp[i-1][j-A[i-1]] + V[i-1]
);
}else{
dp[i][j] = dp[i-1][j];
}
}
}
return dp[n][m];
}
}
01背包的方案数
描述：
给出 n 个物品,以及一个数组,nums[i] 代表第i个物品的大小,保证大小均为正数,正整数 target 表示背包的大小,找到能填满背包的方案数。
每一个物品只能使用一次
样例
给出候选物品集合 [1,2,7] 以及 target 7
结果的集合为:
[7]
[1,3]
Code:
public int backPackV(int[] nums, int target) {
// write your code here
int n = nums.length;
// 当没有物品时方案数为0
if (n == 0) {
return 0;
}
// dp[i][j]表示前i个数字有多少种方式拼出数字j
int[][] dp = new int[n + 2][target + 2];
// 初始化dp[i][j]
for (int i = 0; i <= target; i++) {
dp[0][i] = 0;
}
dp[0][0] = 1;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
// 装入的重量
for (int j = 0; j <= target; j++) {
// 不放物品
dp[i][j] = dp[i - 1][j];
// 放入物品
if (j >= nums[i - 1]) {
dp[i][j] += dp[i - 1][j - nums[i - 1]];
}
}
}
return dp[n][target];
}
}
多重背包
描述：
给定 n 种物品,每种物品都有无限个. 第 i 个物品的体积为 A[i],价值为 V[i]. 再给定一个容量为 m 的背包. 问可以装入背包的最大价值是多少?
样例
样例 1:
输入: A = [2, m = 10
输出: 15
解释: 装入三个物品 1 (A[1] = 3, V[1] = 5), 总价值 15.
样例 2:
输入: A = [1, m = 5
输出: 5
解释: 策略不唯一. 比如, 装入五个物品 0 (A[0] = 1, V[0] = 1).
用动规四要素分析
- state: dp[i][j] 表示前i个物品挑出一些放到 j 的背包里的最大价值和
- function:
dp[i][j] = Math.max(
dp[i-1][j],
dp[i-1][j-A[i-1]] + V[i-1]
dp[i-1][j-A[i-1]*2] + V[i-1]*2
...
);
//其中 0 <= count <= j / A[i - 1]
- initialization: dp[0][0…m] = 0
- answer: dp[n][m]
优化状态转移方程：
dp[i][j] = Math.max(
dp[i-1][j],
dp[i-1][j-A[i-1]] + V[i-1]
dp[i-1][j-A[i-1]*2] + V[i-1]*2
...
);
//变为
dp[i][j] = Math.max(
dp[i-1][j],
dp[i][j-A[i-1]] + V[i-1]
);
原因：我们可以把dp[i][j - A[i - 1]]再按照右边的展开，就是dp[i][j - A[i - 1]] = max(dp[i - 1][j - A[i - 1]],dp[i][j - A[i - 1] - A[i - 1]] + V[i - 1])
那么dp[i][j] = max(dp[i - 1][j],dp[i - 1][j - A[i - 1]] + V[i - 1],
dp[i][j - A[i - 1] - A[i - 1]] + V[i - 1] + V[i -> 1])
如果一直无限展开，就和原来一样了
Code:
public int backPackIII(int m,
dp[i][j-A[i-1]] + V[i-1]
);
}else{
dp[i][j] = dp[i-1][j];
}
}
}
return dp[n][m];
}
}
背包问题小结
- 通常是二维的状态数组，前 i 个组成和为 j 状态数组的大小需要开 (n + 1) * (m + 1)
- 题目中通常有“和”与“差”的概念，数值会被放到状态中
- 每个数存在选或者不选两种状态(01背包)
- 每个数可以选任意多个(多重背包) 数的顺序无关
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