空间优化方法
滚动数组
如果状态依赖关系只在相邻的几层之间，则可以使用滚动数组进行优化
滚动数组可以让空间复杂度降维
坐标型动态规划使用滚动数组
数字三角形的状态转移方程为
dp[i][j] = min(dp[i - 1][j],dp[i - 1][j - 1]) + A[i][j]
滚动数组优化之后为
dp[i % 2][j] = min(dp[(i - 1) % 2][j],dp[(i - 1) % 2][j - 1]) + A[i][j]
因为每一步只与他的前一步有关，所以前面的数组我们可以重复使用，而不需要开辟新的空间。
随着滚动数组优化，我们需要改变的地方：
//原来的版本，详情请看动态规划入门：
public int minimumTotal(int[][] triangle) {
if (triangle == null || triangle.length == 0) {
return -1;
}
if (triangle[0] == null || triangle[0].length == 0) {
return -1;
}
int n = triangle.length;
int[][] f = new int[n][n];
// initialize: 三角形的左边和右边要初始化
// 因为他们分别没有左上角和右上角的点
f[0][0] = triangle[0][0];
for (int i = 1; i < n; i++) {
f[i][0] = f[i - 1][0] + triangle[i][0];
f[i][i] = f[i - 1][i - 1] + triangle[i][i];
}
// function: f[i][j] = Math.min(f[i - 1][j],f[i - 1][j - 1]) + triangle[i][j];
for (int i = 1; i < n; i++) {
for (int j = 1; j < i; j++) {
f[i][j] = Math.min(f[i - 1][j], f[i - 1][j - 1]) + triangle[i][j];
}
}
// answer: 最后一层的任意位置都可以是路径的终点
int best = f[n - 1][0];
for (int i = 1; i < n; i++) {
best = Math.min(best, f[n - 1][i]);
}
return best;
}
//滚动数组版本：
public int minimumTotal(int[][] triangle) {
if (triangle == null || triangle.length == 0) {
return -1;
}
if (triangle[0] == null || triangle[0].length == 0) {
return -1;
}
int n = triangle.length;
//空间负责度进行了降纬 n => 2
int[][] f = new int[2][n];
f[0][0] = triangle[0][0];
// 因为数组空间不能够直接初始化，我们需要在动态的过程中初始化
for (int i = 1; i < n; i++) {
f[i % 2][0] = f[(i - 1) % 2][0] + triangle[i][0];
f[i % 2][i] = f[(i - 1) % 2][i - 1] + triangle[i][i];
for (int j = 1; j < i; j++) {
f[i % 2][j] = min(f[(i - 1) % 2][j], f[(i - 1) % 2][j - 1]) + triangle[i][j]
}
}
// answer: 最后一层的任意位置都可以是路径的终点
int best = f[(i - 1) % 2][0];
for (int i = 1; i < n; i++) {
best = Math.min(best, f[(i - 1) % 2][i]);
}
return best;
}
从上面的不同的两个版本我们可以知道最大的区别在于初始化，因为数组空间不能够直接初始化，所以我们需要在动态的过程中初始化。
那么能否两个维度一起滚动呢?
dp[i][j] = min(dp[i - 1][j],dp[i - 1][j - 1]) + A[i][j] =>
dp[i % 2][j % 2] = min(dp[(i - 1) % 2][j % 2],dp[(i - 1) % 2][(j - 1) % 2]) + A[i][j]
不可以，因为j不是全局单调递增的，所以他的数据需要被保存，而 i 是全局单调递增的。
所以我们可以得出，滚动数组只可以滚动一个维度，不能滚动两个维度。
实例：
斐波那契数列
class Solution {
public int fib(int n) {
int[] dp = new int[3];
dp[0%3] = 0;
dp[1%3] = 1;
for(int i = 2 ; i <= n; i++){
dp[i % 3] = (dp[(i - 1) % 3] + dp[(i - 2) % 3]) % 1000000007;
}
return dp[n%3];
}
}
总结：
- 滚动数组滚动的是第一重循环的变量，而不是第二重甚至第三重
- 滚动数组也只能滚一个维度
- 不能两个维度一起滚动
接龙型动态规划
属于“坐标型”动态规划的一种 题型一般是告诉你一个接龙规则，让你找最长的龙
给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。
子序列是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如，[3,6,2,7] 是数组 [0,3,1,7] 的子序列。
例子1:
输入：nums = [10,9,2,5,3,7,101,18]
输出：4
解释：最长递增子序列是 [2,101]，因此长度为 4 。
利用动规四要素分析：
state:
dp[i] 表示以第 i 个数为龙尾的最长的龙有多长
function:
dp[i] = max{dp[j] + 1}, j < i && nums[j] < nums[i]
initialization://每个位置都可以是龙头
dp[0..n-1] = 1
answer:
max{dp[0..n-1]}
Follow up: 求具体的方法
倒推法
记录每个状态的最优值是从哪个前继状态来的 通常需要一个和状态数组同样维度的数组 prev[i] 记录 使得 dp[i] 获得最优值的那个 j 是谁 j 是方程 dp[i] = max{dp[j] + 1} 里的j
最长上升连续子序列 II
描述：
给定一个整数矩阵. 找出矩阵中的最长连续上升子序列,返回它的长度. 最长连续上升子序列可以从任意位置开始,向上/下/左/右移动.
输入:
[
[1, 2, 3, 4, 5],
[16,17,24,23,6],
[15,18,25,22,7],
[14,19,20,21,8],
[13,12,11,10,9]
]
输出: 25
解释: 1 -> 2 -> 3 -> 4 -> 5 -> ... -> 25 (由外向内螺旋)
描述：
给出一个由无重复的正整数组成的集合，找出其中最大的整除子集，子集中任意一对 (Si，Sj) 都要满足：Si % Sj = 0 或 Sj % Si = 0。
如果有多个目标子集，返回其中任何一个均可。
示例 1:
输入: [1,3]
输出: [1,2] (当然, [1,3] 也正确)
class Solution {
public List<Integer> largestDivisibleSubset(int[] nums) {
if (nums == null || nums.length == 0) {
return new ArrayList();
}
Arrays.sort(nums);
int n = nums.length;
HashMap<Integer, Integer> dp = new HashMap();
HashMap<Integer, Integer> prev = new HashMap();
for (int i = 0; i < n; i++) {
dp.put(nums[i], 1);
prev.put(nums[i], -1);
}
int lastNum = nums[0];
for (int i = 0; i < n; i++) {
int num = nums[i];
for (Integer factor : getFactors(num)) {
if (!dp.containsKey(factor)) {
continue;
}
if (dp.get(num) < dp.get(factor) + 1) {
dp.put(num, dp.get(factor) + 1);
prev.put(num, factor);
}
}
if (dp.get(num) > dp.get(lastNum)) {
lastNum = num;
}
}
return getPath(prev, lastNum);
}
private List<Integer> getPath(HashMap<Integer, Integer> prev, int lastNum) {
List<Integer> path = new ArrayList();
while (lastNum != -1) {
path.add(lastNum);
lastNum = prev.get(lastNum);
}
Collections.reverse(path);
return path;
}
private List<Integer> getFactors(int num) {
List<Integer> factors = new ArrayList();
if (num == 1) {
return factors;
}
int factor = 1;
while (factor * factor <= num) {
if (num % factor == 0) {
factors.add(factor);
if (factor != 1 && num / factor != factor) {
factors.add(num / factor);
}
}
factor++;
}
return factors;
}
}
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