Leetcode-第782题-困难-《变为棋盘》

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一个 $n\times n$的二维网络$board$仅由$0$和$1$组成 。每次移动，你能任意交换两列或是两行的位置。

返回 将这个矩阵变为 “棋盘” 所需的最小移动次数 。如果不存在可行的变换，输出 -1。

• 示例1：
  

  

输入: board = [[0,1,1,0],[0,1,1,0],[1,0,0,1],[1,0,0,1]]
输出: 2
解释: 一种可行的变换方式如下，从左到右：
第一次移动交换了第一列和第二列。
第二次移动交换了第二行和第三行。

• 示例2：
  

  

输入: board = [[0, 1], [1, 0]]
输出: 0
解释: 注意左上角的格值为0时也是合法的棋盘，也是合法的棋盘.

• 示例3：
  

  

输入: board = [[1, 0], [1, 0]]
输出: -1
解释: 任意的变换都不能使这个输入变为合法的棋盘。

思路

观察上图，不难发现任意交换两列不会影响行之间0和1的异同关系【性质1】。

所以，想要凑成棋盘，矩阵一定只能包含有两种不同的行【性质2】，要么与第一行的元素相同，要么每一行的元素刚好与第一行的元素“相反”。

如第一排元素是$[0,1,1,0]$,其他行只能是$[0,1,1,0]$或者$[1,0,0,1]$。

• 所以检查能否通过交换变成一个棋盘，可以通过判断其他行/列与第一行/列是否只存在相同或者相反的关系。
• 行/列变换都不会改变某行/列0和1的个数，所以每一行的0和1的个数是固定不变的。若能变成一个棋盘，当n是偶数时：0的个数=1的个数=n//2；当n时奇数时：0和1的个数之差=1。

这个矩阵只由0和1组成，且长度在30以内。可以使用一个32位的int数字表示。

如何表示？
假设第一行是$A=[1,0,1,0]$,使用$int$类型的$num$来表示：

num = 0
for i in len(A):
	num |= A[i]<<i

代码解释：

num=0，则num的二进制表示： $\cdots 0000000$

然后将$A$数组的第$i$个元素左移i位；

• 当数组$A$元素是0时，左移$i$位二进制还是全0，和$num$的进行或运算，$num$不变，表示$num$第$i$位二进制就是0，不用改变。
• 当数组$A$元素是1时，左移$i$位二进制变成第$i$位是1，其他全是0，和$num$的进行或运算，$num$第$i$位由0变成1，表示存储$A$的第$i$个元素。

最后$num$二进制表示为：$\cdots 0001010$

首先编成判断矩阵能否变成棋盘的代码：

        n = len(board)#获取棋盘维度n

        rowMask = colMask = 0#定义用于表示第一行和第一列的int类型变量

        for i in range(n):
        	#将矩阵存储到int变量中
            rowMask |= board[0][i] << i
            colMask |= board[i][0] << i
            
		#创建与第一行和第一列相反的变量
		#1<<n-1  其实就是……0000+n个1
		#^表示异或，同0异1
        reverseRowMask = ((1 << n) - 1) ^ rowMask
        reverseColMask = ((1 << n) - 1) ^ colMask

			#用于记录有多少个和第一行/第一列相同的行/列
        rowCnt = colCnt = 0

        for i in range(n):
        	#矩阵第i行/列的int表示
            currRowMask = currColMask = 0
            for j in range(n):
                currColMask |= board[j][i] << j
                currRowMask |= board[i][j] << j
					
				#(和第一行不一样 并且 和第一行不是相反关系) 并且 (和第一列不一样 并且 和第一列不是相反关系)
            if (currRowMask != rowMask and currRowMask != reverseRowMask) and (currColMask != colMask and currColMask != reverseColMask):
                return -1
					
			#和第一行/列一样就+1,这个数后面会用于判断能否变成棋盘
            rowCnt += currRowMask == rowMask
            colCnt += currColMask == colMask

接下来判断变成棋盘需要走几步

交换两列并不会影响行之间的$0-1$位置，所以行操作与列操作可以看作是两个独立的操作(解耦)。

如果这个矩阵能够变成一个棋盘，受到【性质1】和【性质2】影响，只需要改动某一行和某一列变成0-1交替，其他行和列也会变成0-1交替的状态。

所以二维问题就变成了两个一维的问题。在这里只讨论第一行和第一列，即只需要分别将矩阵的第一行变为最终状态和第一列变为最终状态，最终的矩阵一定为合法“棋盘”。

只需要求出交换第一列和第一行使之称为0-1交替状态的步数之和即可。又因为是交换操作，只会用0交换1，用1交换0；所以只需要计算出需要保留的1的个数，再用1的总数-保留的个数就是需要交换的步数了。0同理。

交换需要分两种情况讨论：

• 当n为偶数，此时最终的合法棋盘有两种可能，即第一行的元素的第一个元素$\text{board}[0][0]=0$或者$\text{board}[0][0]=1$。
  若选择第一行以0开头，此时只需将偶数位上的$0$全部替换为$1$ 即可；同理选择将第$1$行变为以$1$开头，此时只需将奇数位上的$0$全部替换为$1$即可。
• 若n为奇数，则此时最终的合法棋盘只有一种可能。
  如果第一行中0的数目大于1的数目，此时第一行只能变为以0为开头交替的序列，此时我们只需要将偶数位上的0全部变为1；
  如果第一行中0的数目小于1的数目，此时第一行只能交换变为以1为开头交替的序列，此时我们只需要将奇数位上的0全部变为1；

由于我们采用$32$位整数表示每一行或者每一列，在快速计算偶数位或者上的$1$的数目时可以采用位运算掩码。比如$32$位整数$x$，我们只保留$x$偶数位上的1，此时我们需要去掉奇数位上的1，此时只需将x与掩码：
$$(10101010101010101010101010101010{)}_2=0xAAAAAAAA$$

相与即可；

我们只保留$x$奇数位上的$1$，此时我们需要去掉偶数位上的$1$，此时只需将$x$与掩码：

$$(01010101010101010101010101010101{)}_2=0x55555555$$

相与即可。

相与后使用$bi{t}_{c}ount()$计算1的个数就是需要保留的个数了，使用总数-保留数即可得出移动步数。

代码如下：

        def getMoves(mask, count):
		'''
		mask：第一行/列的int变量
		count：有几行/列和第一行/列一样
		'''
            ones = mask.bit_count()#1的个数
            if n & 1:  # 若长度是奇数
                if abs(n - 2 * ones) != 1 or abs(n - 2 * count) != 1:#0和1的数量相差1，不满足则不能变成棋盘
                    return -1

                if ones == n // 2: # 若1的个数是偶数，ones == n//2为1的个数
                    return n // 2 - (mask & 0xAAAAAAAA).bit_count()#1的个数-需要保留的个数=移动步数
                else:#1的个数是奇数,(n+1)//2为1的个数
                    return (n+1)//2 - (mask & 0x55555555).bit_count()
            else:#若长度是偶数
                if ones !=n//2 or count != n//2:
                    return -1
				#交换0或者交换0，选最小的
                count0 = n // 2 - (mask & 0xAAAAAAAA).bit_count()

                count1 = n // 2  - (mask & 0x55555555).bit_count()

                return min(count0, count1)

完整代码

class Solution(object):
    def movesToChessboard(self, board):
        """
        :type board: List[List[int]]
        :rtype: int
        """
        n = len(board)

        rowMask = colMask = 0

        for i in range(n):
            rowMask |= board[0][i] << i
            colMask |= board[i][0] << i

        reverseRowMask = ((1 << n) - 1) ^ rowMask
        reverseColMask = ((1 << n) - 1) ^ colMask

        rowCnt = colCnt = 0

        for i in range(n):
            currRowMask = currColMask = 0
            for j in range(n):
                currColMask |= board[j][i] << j
                currRowMask |= board[i][j] << j

            if (currRowMask != rowMask and currRowMask != reverseRowMask) and (currColMask != colMask and currColMask != reverseColMask):
                return -1

            rowCnt += currRowMask == rowMask
            colCnt += currColMask == colMask

        def getMoves(mask, count):
            ones = mask.bit_count()
            if n & 1:  # 长度是奇数
                if abs(n - 2 * ones) != 1 or abs(n - 2 * count) != 1:
                    return -1

                if ones == n // 2:
                    # 1是偶数，ones == n//2为1的个数
                    return n // 2 - (mask & 0xAAAAAAAA).bit_count()
                else:
                    return (n+1)//2 - (mask & 0x55555555).bit_count()
            else:
                if ones !=n//2 or count != n//2:
                    return -1

                count0 = n // 2 - (mask & 0xAAAAAAAA).bit_count()

                count1 = n // 2  - (mask & 0x55555555).bit_count()

                return min(count0, count1)

        rowMoves = getMoves(rowMask, rowCnt)
        colMoves = getMoves(colMask, colCnt)
        return -1 if rowMoves == -1 or colMoves == -1 else rowMoves + colMoves

知识点总结

• 当矩阵只有0或者1，可以使用int变量和位移操作压缩存储。
• 判断一个整数是不是偶数：n&1==0则是偶数，反之为奇数
• 存在一个整数$num1$，二进制表示为：$\underset{\text{全0}}{\underbrace{0\cdots \cdots }}\underset{n\text{个非0的二进制数}}{\underbrace{1\cdots }}$。
  获取$num2$，二进制表示为$num1$的反码：
  (1)$num2=0$
  (2)将$num2$前$n$位变成$1$: $(num2<<n)-1$
  (3)与二进制进行异或^操作: $(num2=num1\stackrel{ˆ}{}num2)$
• 计算某整数二进制表示中1的个数:$num.bit\_count()$
• 可以使用异或操作+特定的数字+$num.bit\_count()$计算0或1的个数