1、AVL树简介
AVL树本质上还是一棵二叉搜索树，又称高度平衡的二叉搜索树。它能保持二叉树的高度平衡，尽量降低二叉树的高度，减少树的平均搜索长度。对于二叉搜索树的介绍和实现，可查看本人上一篇博客。
2、AVL树的特点
1）本身首先是一棵二叉搜索树。
2）带有平衡条件：每个结点的左右子树的高度之差的绝对值（平衡因子）最多为1。
3）树中的每个左子树和右子树都是AVL树。
4）每个结点都有一个平衡因子，任一结点的平衡因子是-1,1.
注：结点的平衡因子 = 右子树高度 - 左子树高度
3、AVL树的效率
一棵AVL树有N个结点，其高度可以保持在lgN，插入/删除/查找的时间复杂度也是lgN。
AVL树的复杂程度真是比二叉搜索树高了整整一个数量级――它的原理并不难弄懂，但要把它用代码实现出来还真的有点费脑筋。下面我们来看看AVL树实现的接口，通过三叉链进行结点的实现。
template<class K, class V>
struct AVLTreeNode//三叉链
{
AVLTreeNode<K, V>* _left;
AVLTreeNode<K, V>* _right;
AVLTreeNode<K, V>* _parent;
K _key;
V _value;
int _bf;//右子树与左子树的高度差
AVLTreeNode(const K& key = K(), const V& value = V())//加上K()和V()，可缺省构造
:_left(NULL)
, _right(NULL)
, _parent(NULL)
, _key(key)
, _value(value)
, _bf(0)
{}
};
template<class K, class V>
class AVLTree
{
typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public:
AVLTree()
:_root(NULL)
{}
void Insert(const K& key, const V& value);
Node* Find(const K& key);
int Height();
bool IsBalance();
void PrintAVLTree();
private:
Node* _Find(Node* root, const K& key);
void _RotateL(Node*& parent);
void _RotateR(Node*& parent);
void _RotateLR(Node*& parent);
void _RotateRL(Node*& parent);
int _Height(Node* root);
bool _IsBalance(Node* root);
void _PrintAVLTree(Node* root);
protected:
Node* _root;
};
下面对插入进行元素的分析：
1）判断树是否为空，为空时，新建根结点。
2）查找插入的key是否存在，存在就退出函数，不存在就执行3）。
3）找到插入key的位置，然后插入结点cur。
4）更新平衡因子：从cur开始向上其父结点进行更新平衡因子，如果结点的平衡因子不满足AVL树，进行旋转调节平衡因子。
template<class K,class V>
void AVLTree<K,V>::Insert(const K& key, const V& value)
{
if (_root == NULL)
{
_root = new Node(key, value);
return;
}
if (Find(key))//存在key
{
return;
}
Node* prev = NULL;
Node* cur = _root;
while (cur)//插入key的位置cur
{
if (key < cur->_key)
{
prev = cur;
cur = cur->_left;
}
else if (key > cur->_key)
{
prev = cur;
cur = cur->_right;
}
}
cur = new Node(key, value);//插如结点cur
if (prev->_key > key)
{
prev->_left = cur;
cur->_parent = prev;
}
else if (prev->_key < key)
{
prev->_right = cur;
cur->_parent = prev;
}
//prev为cur的上一个结点，即为cur是prev的父亲结点
prev = cur;
cur = prev->_parent;
while (cur)
{
//更新平衡因子：从插如的cur开始向上更新平衡因子
cur->_bf = _Height(cur->_right) - _Height(cur->_left);
if (cur->_bf != -1 && cur->_bf != 1 && cur->_bf != 0)//不满足AVL树的结点，进行旋转调节平衡因子
{//平衡因子为2时，一定存在右子树；平衡因子为-2时，一定存在左子树
//左单旋：2 1（平衡因子）
if (cur->_bf == 2 && cur->_right->_bf == 1)
{
_RotateL(cur);//引用传递
}
//右单旋：-2 -1
else if (cur->_bf == -2 && cur->_left->_bf == -1)
{
_RotateR(cur);
}
//左右旋转：-2 1
else if (cur->_bf == -2 && cur->_left->_bf == 1)
{
_RotateLR(cur);
}
//右左旋转:2 -1
else if (cur->_bf == 2 && cur->_right->_bf == -1)
{
_RotateRL(cur);
}
}
prev = cur;
cur = cur->_parent;
}
}
进行旋转调节平衡因子，分四种情况：
（1）左单旋：cur的平衡因子为2，cur->_right的平衡因子为1。
（2）右单旋：cur的平衡因子为-2，cur->_left的平衡因子为-1。
（3）左右旋转：cur的平衡因子为-2，cur->_left的平衡因子为1。
（4）右左旋转：cur的平衡因子为-2，cur->_right的平衡因子为-1。
左右旋转和右左旋转可通过调用左单旋和右单旋进行，注意结束后重置平衡因子。
如果不是很清楚，可以自己画图进行分析。
左单旋：
template<class K, class V>
void AVLTree<K, V>::_RotateL(Node*& parent)
{
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
parent->_right = subRL;//1
subR->_parent = parent->_parent;//1
subR->_left = parent;//2
parent->_parent = subR;//2
if (subRL)//注意不为空，进行链接
subRL->_parent = parent;
parent->_bf = subR->_bf = 0;
//进行subR的父亲结点和subR的链接
if (subR->_parent == NULL)//为空时，parent为根结点，更改根结点
_root = subR;
else//不为空，进行链接
{
if (subR->_parent->_key > subR->_key)
subR->_parent->_left = subR;
else
subR->_parent->_right = subR;
}
parent = subR;
}
右单旋：
template<class K, V>::_RotateR(Node*& parent)
{
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
//不能变换顺序
parent->_left = subL->_right;//1
subL->_parent = parent->_parent;//1
subL->_right = parent;//2
parent->_parent = subL;//2
if (subLR)//注意不为空，进行链接
subLR->_parent = parent;
parent->_bf = subL->_bf = 0;
//进行subL的父亲结点和subL的链接
if (subL->_parent == NULL)//为空时，parent为根结点，更改根结点
_root = subL;
else//不为空，进行链接
{
if (subL->_parent->_key > subL->_key)
subL->_parent->_left = subL;
else
subL->_parent->_right = subL;
}
parent = subL;
}
左右旋转：
template<class K, V>::_RotateLR(Node*& parent)
{
Node* pNode = parent;//需重新定义parent，在进行左右旋转后，parent指向发生了变化
Node* subLNode = pNode->_left;
Node* subLRNode = subLNode->_right;
_RotateL(parent->_left);
_RotateR(parent);
//在单旋时，parent和subL的平衡因子都为0，在进行左右旋转和右左旋转会出错,故重新设置平衡因子
//subLRNode的平衡因子存在三种情况：为0，为-1，为1。subLRNode的平衡因子影响parent和subL的平衡因子
if (subLRNode->_bf == 1)
{
pNode->_bf = 1;
subLNode->_bf = 0;
}
else if (subLRNode->_bf == -1)
{
pNode->_bf = 0;
subLNode->_bf = -1;
}
else
{
parent->_bf = 0;
subLNode->_bf = 0;
}
}
右左旋转：
template<class K, V>::_RotateRL(Node*& parent)
{
Node* pNode = parent;
Node* subRNode = pNode->_right;
Node* subRLNode = subRNode->_left;
_RotateR(parent->_right);
_RotateL(parent);
if (subRLNode->_bf == 1)
{
pNode->_bf = -1;
subRNode->_bf = 0;
}
else if (subRLNode->_bf == -1)
{
pNode->_bf = 0;
subRNode->_bf = 1;
}
else
{
pNode->_bf = 0;
subRNode->_bf = 0;
}
}
测试用例如下：
void AVLTreeTest()
{
AVLTree<int, int> avlt;
//int arr[10] = { 16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15, 23 };
int arr[10] = { 4, 2, 6, 1, 5, 16, 14 };
for (int i = 0; i < 10; ++i)
{
avlt.Insert(arr[i], i);
avlt.PrintAVLTree();
}
cout << avlt.IsBalance() << endl;
}
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