【数据结构】二叉搜索树

概念及其性质

二叉搜索树，又名二叉排序树，二叉查找树

二叉搜索树有一下特点：

（1）若左子树不为空，则左子树的所有节点均小于根节点

（2）若右子树不为空，则右子树的所有节点均大于根节点

（3）左右子树也是二叉搜索树

（4）每棵树都有自己的key值，而且不能重复

如何定义二叉搜索树

//二叉搜索树的节点，Key-Value结构
template<typename K,typename V>
struct ResearchBinaryTreeNode
{
	ResearchBinaryTreeNode<K,V>* _left;
	ResearchBinaryTreeNode<K,V>* _right;

	K _key;
	V _value;

	ResearchBinaryTreeNode(const K& key,const V& value);
};

//定义二叉搜索树
template<typename K,typename V>
class ResearchBinaryTree
{
    typedef ResearchBinaryTreeNode<K,V> Node;
public:
    ResearchBinaryTree();//构造函数
    ~ResearchBinaryTree();//析构函数
    
    bool Insert(const K& key,const V& value);//插入
    Node* Find(const K& key);//查找
    bool Remove(const K& key);//删除
    void InOrder();//中序遍历
 
    Node* FindR(const K& key);//递归形式查找
    bool InsertR(const K& key,const V& value);//递归形式插入
    bool RemoveR(const K&key);//递归形式删除
protected:
    Node* _root;
};

二叉搜索树的查找

二叉搜索树的查找，就是从根节点开始，进行key值的比较

若相同，则查询到；若大于查找的key值，则走左孩子；小于的话走右孩子；如果为空，则没找到

非递归实现

Node* Find(const K& key)
{
	Node* cur = _root; 
	
	//根据搜索二叉树的特点来进行查找
	while (cur)
	{
		if (key < cur->_key)
			cur = cur->_left;
		else if (key>cur->_key)
			cur = cur->_right;
		else
			return cur;
	}
	return NULL;
}

递归实现

Node* FindR(const K& key)
{
	return _FindR(_root,key);
}

Node* _FindR(Node* root,const K& key)
{
	if (root == NULL)
		return NULL;

	if (key < root->_key)
		return _FindR(root->_left,key);
	else if (key>root->_key)
		return _FindR(root->_right,key);
	else
		return root;
}

二叉搜索树的插入

非递归实现

bool Insert(const K& key,const V& value)
{
	if (_root == NULL)
	{
		_root = new Node(key,value);
		return true;
	}

	Node* cur = _root;
	Node* parent = cur;

	//找到需要插入节点的父亲节点
	while (cur)
	{
		parent = cur;

		if (cur->_key < key)
			cur = cur->_right;
		else if (cur->_key>key)
			cur = cur->_left;
		else
			return false; 
	}

	//parent为需要插入节点的父亲节点
	if (parent->_key > key)
		parent->_left = new Node(key,value);
	else if (parent->_key<key)
		parent->_right = new Node(key,value);

	return true;
}

递归实现

bool InsertR(const K& key,const V& value)
{
	return _InsertR(_root,key,value);
}
bool _InsertR(Node*& root,const K& key,const V& value)
{
	//构建新节点
	if (root == NULL)
	{
		root = new Node(key,value);
		return true;
	}
	
	if (key < root->_key)
		return _InsertR(root->_left,value);
	else if (key > root->_key)
		return _InsertR(root->_right,value);
	else
		return false;
}

二叉搜索树的删除

二叉搜索树稍微复杂一点的地方就是删除部分，在删除一个节点的时候，有四种情况

（1）删除节点的左子树为空  如删除节点6

（2）删除节点的右子树为空  如删除节点9

（3）删除节点的左子树和右子树都为空 如删除节点2

（4）删除节点的左子树和右子树都不为空 如删除节点7

由于当删除节点的左子树和右子树都为空时，左子树和右子树都为空，满足左子树为空（或右子树为空）的条件，因为我们可以将这种情况划分到左子树为空的情况中

因此，三种情况的处理结果如下：

（1）若左子树为空，就让父亲节点指向删除节点的右子树；比如删除6，就让7指向6的右子树

（2）若右子树为空，就让父亲节点指向删除节点的左子树；比如删除3，就让5指向3的左子树

（3）若都不为空，则用替换法进行删除；比如删除7，就找7的右子树（9）的最左节点8，将8放到7的位置，然后删除原来的8

非递归实现

bool Remove(const K& key)
{
	Node* cur = _root;
	Node* parent = NULL;
	Node* delNode = NULL;

	//找出要删除的节点以及其父亲节点
	while (cur)
	{
		if (key < cur->_key)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_left;
		}
		else if (key >cur->_key)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_right;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}

	if (cur == NULL)
		return false;

	//如果删除的是根节点，那么parent的值为NULL 
	//cur此时是要删除的节点
	if (cur->_left == NULL)
	{
		delNode = cur;

		//cur是父亲节点的左孩子的话，就把cur的右孩子赋给父亲节点的左孩子
		//否则，将cur的右孩子赋给父亲节点的右孩子
		if (parent == NULL)
			_root = cur->_right;
		else if (parent->_left == cur)
			parent->_left = cur->_right;
		else
			parent->_right = cur->_right;
	}
	else if (cur->_right == NULL)
	{
		delNode = cur;

		//cur是父亲节点的左孩子的话，就把cur的右孩子赋给父亲节点的左孩子
		//否则，将cur的右孩子赋给父亲节点的右孩子
		if (parent == NULL)
			_root = cur->_left;

		else if(parent->_left == cur)	
			parent->_left = cur->_left;
		else
			parent->_right = cur->_left;
	}
	else
	{
		//都不为空的情况，需要采用替换法来解决
		Node* subLeft = NULL;//定义右子树的最左节点

		//循环找到右子树的最左节点
		//这里subLeft不可能为空
		subLeft = cur->_right;
		parent = cur;
		while (subLeft->_left)
		{
			parent = subLeft;
			subLeft = subLeft->_left;
		}

		cur->_key = subLeft->_key;

		if (parent->_left == subLeft)
			parent->_left = subLeft->_right;
		else
			parent->_right = subLeft->_right;

		delNode = subLeft;
	}

	delete delNode;
	delNode = NULL;

	return true;
}

递归实现

bool RemoveR(const K&key)
{
	return _RemoveR(_root,key);
}
bool _RemoveR(Node* root,const K& key)
{
	if (root == NULL)
		return false;

	//递归，找到要删除的节点
	if (root->_key < key)
		return _RemoveR(root->_right,key);
	else if (root->_key > key)
		return _RemoveR(root->_left,key);
	else
	{
		Node* delNode = root;

		//删除节点的左为空
		if (root->_left == NULL)
			root = root->_right; 
		else if (root->_right == NULL)
			root = root->_left;
		else//左右都不为空的情况
		{
			Node* parent = root;
			Node* subLeft = root->_right;

			while (subLeft->_left)
			{
				parent = subLeft;
				subLeft = subLeft->_left;
			}

			delNode = subLeft;

			//若为左子树，代表走了while循环，否则没有走循环
			//要删除的节点是subLeft

			root->_key = subLeft->_key;

			if (parent->_left == subLeft)
				parent->_left = subLeft->_right;
			else
				parent->_right = subLeft->_right;

			delete delNode;
			return true;
		}
	}
}