L0、L1、L2、Elastic Net正则项

L1正则化使得模型更加稀疏，L2使得模型参数更趋近于0，提高泛化能力(这里是另外一个解释:https://www.zhihu.com/question/38081976/answer/74895039)

先介绍下各自的用处：

L0范数：就是指矩阵中非零元素的个数，很显然，在损失函数后面加上L0正则项就能够得到稀疏解，但是L0范数很难求解，是一个NP问题，因此转为求解相对容易的L1范数（l1能够实现稀疏性是因为l1是L0范数的最优凸近似）

L1范数：矩阵中所有元素的绝对值的和。损失函数后面加上L1正则项就成了著名的Lasso问题（Least Absolute Shrinkage and Selection Operator），L1范数可以约束方程的稀疏性，该稀疏性可应用于特征选择：
比如，有一个分类问题，其中一个类别Yi(i=0,1),特征向量为Xj（j=0,1~~~1000），那么构造一个方程
Yi = W0*X0+W1*X1···Wj*Xj···W1000*X1000+b;
其中W为权重系数，那么通过L1范数约束求解，得到的W系数是稀疏的，那么对应的X值可能就是比较重要的，这样就达到了特征选择的目的（该例子是自己思考后得出的，不知道正不正确，欢迎指正）。

L2范数：
其实就是矩阵所有元素的平方和开根号，即欧式距离，在回归问题中，在损失函数（或代价函数）后面加上L2正则项就变成了岭回归（Ridge Regression），也有人叫他权重衰减，L2正则项的一个很大的用处就是用于防止机器学习中的过拟合问题，同L1范数一样，L2范数也可以对方程的解进行约束，但他的约束相对L1更平滑，在模型预测中，L2往往比L1好。L2会让W的每个元素都很小，接近于0，但是不会等于0.而越小的参数模型越简单，越不容易产生过拟合，以下引自另一篇文章：
到目前为止，我们只是解释了L2正则化项有让w“变小”的效果（公式中的lamda越大，最后求得的w越小），但是还没解释为什么w“变小”可以防止overfitting？一个所谓“显而易见”的解释就是：更小的权值w，从某种意义上说，表示网络的复杂度更低，对数据的拟合刚刚好（这个法则也叫做奥卡姆剃刀），而在实际应用中，也验证了这一点，L2正则化的效果往往好于未经正则化的效果。当然，对于很多人（包括我）来说，这个解释似乎不那么显而易见，所以这里添加一个稍微数学一点的解释：

过拟合的时候，拟合函数的系数往往非常大，为什么？如下图所示，过拟合，就是拟合函数需要顾忌每一个点，最终形成的拟合函数波动很大。在某些很小的区间里，函数值的变化很剧烈。这就意味着函数在某些小区间里的导数值（绝对值）非常大，由于自变量值可大可小，所以只有系数足够大，才能保证导数值很大。

而正则化是通过约束参数的范数使其不要太大，所以可以在一定程度上减少过拟合情况。

弹性网络（Elastic Net）：实际上是L1，L2的综合

其中的L1正则项产生稀疏模型
L2正则项产生以下几个作用：
1 消除L1正则项中选择变量个数的限制（即稀疏性）
2 产生grouping effect（对于一组相关性较强的原子，L1会在相关的变量间***随机***的选择一个来实现稀疏）
3 稳定L1正则项的路径
整理后的正则项：

e lastic net 的几何结构：

其结构有如下两个特点：
1 在顶点具有奇异性（稀疏性的必要条件）
2 严格的凸边缘（凸效应的强度随着α而变化（产生grouping效应））

elastic net总结：
1 弹性网络同时进行正则化与变量选择
2 能够进行grouped selection
3 当p>>n，或者严重的多重共线性情况时，效果明显
4 当α接近0时，elastic net表现接近lasso，但去掉了由极端相关引起的退化或者奇怪的表现
5 当α从1变化到0时，目标函数的稀疏解（系数为0的情况）从0增加到lasso的稀疏解

L1 L2区别总结:
加入正则项是为了避免过拟合,或解进行某种约束,需要解保持某种特性
L1正则假设参数的先验分布是Laplace分布，可以保证模型的稀疏性，也就是某些参数等于0,L1正则化是L0正则化的最优凸近似，比L0容易求解，并且也可以实现稀疏的效果,
L1也称Lasso；

L2正则假设参数的先验分布是Gaussian分布，可以保证模型的稳定性，也就是参数的值不会太大或太小.L2范数是各参数的平方和再求平方根，我们让L2范数的正则项最小，可以使W的每个元素都很小，都接近于0。但与L1范数不一样的是，它不会是每个元素为0，而只是接近于0。越小的参数说明模型越简单，越简单的模型越不容易产生过拟合现象。

L2正则化江湖人称Ridge，也称“岭回归”

在实际使用中，如果特征是高维稀疏的，则使用L1正则；如果特征是低维稠密的，则使用L2正则。 L2不能控制feature的“个数”，但是能防止模型overfit到某个feature上；相反L1是控制feature“个数”的，并且鼓励模型在少量几个feature上有较大的权重。