FO-like Transformation in QROM & Oracle Cloning

参考文献：

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15. PKE 安全性的提升方式：Naor-Yung、Fischlin、Fujisaki-Okamoto
16. 量子计算：基本概念

KEM & DEM

[RS91] 给出了 IND-CCA 安全的概念，[BR93] 给出了 ROM 的设计范式。

[CS03] 最先提出了基于 KEM（Asymmetrickey Key Encapsulation Mechanism）和 DEM（Symmetric Data Encapsulation Mechanism）构造出 hybrid constructions 的设计思路。[CS03] 指出，任意的 IND-CCA KEM（比 PKE 更弱）组合上任意的 One-time CCA DEM（对称加密），需要它们的安全属性相互独立，那么就得到了一个 IND-CCA PKE

但是 IND-CCA KEM 通常难以构造（直接归约到底层困难问题是很麻烦的），因此人们往往先构造 IND-CPA KEM，然后再利用某些转换方案得到 IND-CCA KEM

一般地，我们直接将 General-Purpose PKE 作为 KEM 来使用，但是也许可能直接实现 KEM 会更加高效。

之后的 [Dent03] 推广和提出了一些简单高效的 IND-CCA KEM 构造，其中包括了 KEM 版本 FO 和 REACT/GEM 的现代化描述。

Security

[HHK17] 研究了 FO-like，发现目前唯一的从 CPA 安全提升到 IND-CCA 安全的手段，实际上就只有 FO 转换（及其变体）。另外，[FO13] 的归约不紧，并且需要底层 PKE 解密无差错，以及一些其他的更强要求。[HHK17] 给出了从 CPA 到 CCA 的更细粒度转换方案，归约中考虑了解密差错的鲁棒性，将它们相互组合可以得到多种 FO 变体。因此我们先给出一些的安全性描述。

Correctness

原始 [FO99] [FO13] 以及其他变体的缺陷：

1. 在 FO 和 REACT/GEM 的归约中，要求底层 PKE 的解密是完美正确的（perfect correct）。但是 LWE-based PKE 不可避免地引入噪声，导致存在解密失败的情况。
2. 另外，原始 FO 转换的归约是不紧的；REACT/GEM 转换的归约是紧的，但它要求底层 PKE 是 OW-PCA 安全。由于 D-LWE 和 S-LWE 的等价性，导致了许多自然的格密码方案不能够达到 OW-PCA 安全 。

[HHK17] 解释说已有的格密码方案的解密正确性的定义有些微妙，因此他们使用了一种精心挑选的定义，使得它既符合 FO 归约需要，又使得所有格密码也都满足这个定义。

正确性（Correctness）：我们称某个 PKE 是 $\delta$-correct，如果它满足
$$\underset{(sk,pk)\leftarrow Gen(1^{\lambda })}{\mathbb{E}}\left[\underset{m\in M}{\max }\underset{r\leftarrow R}{\mathrm{Pr}}[Dec(sk,c)\ne m\mid c\leftarrow Enc(pk,m;r)]\right]\le \delta$$
这个期望是关于 $(sk,pk)$ 的，而每一个确定的公私钥对，对于每一个消息 $m$，都有关于随机带 $r$ 的解密失败概率。

或者更方便地，可以将它基于游戏来定义：

对于任意的（无界）敌手 $A$，使得：
$$\mathrm{Pr}[CO{R}_{PKE}^A\to 1]\le \delta$$
对于 RO Model，假如敌手可以访问随机神谕 $G,H,\cdots$（若干个），查询次数限制为 $q_G,q_H,\cdots$，那么就有：
$$\mathrm{Pr}[COR\text{-}R{O}_{PKE}^A\to 1]\le \delta (q_G,\cdots )$$
Standard Model 可以视为 RO Model 的特殊情况（没有 $q_G$ 等输入），函数 $\delta (q_G,\cdots )$ 成为了某个常数 $\delta$

有效密文（valid ciphertext）：解密函数 $Dec$ 检查密文是否是有效的，对于无效密文，输出特殊符号 $\perp \notin M$ 表示拒绝。

单射性（Injectivity）：对于所有的 $(sk,pk)\leftarrow Gen$，总是有
$$Enc(pk,m;r)=Enc(pk,m^{\prime };r^{\prime })⟹(m,r)=(m^{\prime },r^{\prime }),\forall m,m^{\prime }\in M,r,r^{\prime }\in R$$
也就是说，函数 $Enc(pk,\cdots ):M\times R\to C$ 是单射，必要条件是 $|C|\ge |M|\cdot |R|$ 足够大。此时，每个有效密文都只能解密出唯一的消息，以及唯一的随机带。

刚性（Rigidity）：这是针对确定性 PKE 的，对于所有的 ( s k,pk)←Gen，总是有
$$Dec(sk,c)=\perp \text{ or }Enc(pk,Dec(sk,c))=c$$
也就是说，除了非法的密文，有效密文总是可以解密出正确的消息，不存在解密错误。注意区分：拒绝（识别非法密文并输出特殊符号）、失败（解密出的结果与原始消息不一致）。

$\gamma$-Spread：我们定义密文 $Enc(pk,m;r)$ 的最小熵
$$\gamma (pk,m):=-\log \underset{c\in C}{\max }\underset{r\leftarrow R}{\mathrm{Pr}}[Enc(pk,m;r)=c]$$
如果存在常数 $\gamma$ ，满足 $\gamma (pk,m)\ge \gamma ,\forall (pk,sk)\leftarrow Gen,\forall m\in M$。这直接导致了
$$\underset{r\leftarrow R}{\mathrm{Pr}}[Enc(pk,m;r)=c]\le 2^{-\gamma },\forall c\in C$$
即对于固定的 ( s k,pk) 和 $m$，随机带 $r$ 使得此消息的加密是高熵的。

OW & IND

One-Way 安全性（OW）：这是比 IND 更强的攻击目标，要求敌手根据密文 $c^{\ast }\leftarrow Enc(pk,m^{\ast };r)$，找出消息 $m^{\prime }\in M$，满足 $m^{\prime }=Dec(sk,c^{\ast })$

Indistinguishability 安全性（IND）：只要求敌手无法区分 $c^{\ast }$ 是哪个消息 $m_0,m_1$ 的加密。攻击难度比 OW 更低，这是更强的安全性要求。

PCA & VA & PCVA

现在我们考虑攻击手段，也就是敌手能够访问某些神谕

1. 明文检查神谕（Plaintext Checking Oracle）：输入密文 $c$ 和消息 $m$，检查消息 $m$ 是否就是密文 $c$ 所加密的，记为 $Pco(m,c)$
2. 密文有效性神谕（Ciphertext Validity Oracle）：输入密文 $c$，检查密文 $c$ 是否会输出 $\perp$，记为 $Cvo(c)$

当然，需要约束下神谕的能力：

• 明文检查神谕只能回答 $m\in M$ 的那些请求，对于请求 $(m\notin M,c)$ 应当回复 $\perp$ 而非 $0/1$，否则 $Pco(\perp ,c)$ 就完全模拟了 $Cvo(c)$
• 密文有效性神谕对于请求 $c=c^{\ast }$ 应当回复 $\perp$ 而非 $0/1$，否则 $Cvo(c^{\ast })$ 就可以用于区分 $c^{\ast }$ 是随机生成的（如果它是非法密文）还是正确加密的（必然是有效密文）

现在我们定义 PKE 的 OW-ATK 安全性，其中的 ATK 标志着敌手可以访问哪些神谕：

对应的游戏是：

而 IND-CPA PKE 和 IND-CCA KEM 安全性的定义，是很自然的，游戏为：

QROM

[BDF+11] 给出了 Quantum ROM 的概念。量子力学的基本概念：量子比特、量子寄存器、标准正交计算基、叠加态、测量、坍缩。

量子神谕（Quantum Oracles）：它是一个映射
$$|x⟩|y⟩\mapsto |x⟩|y\oplus f(x)⟩$$
其中的 f : { 0,1 } n → { 0,1 } m f:\{0,1\}^n \to \{0,1\}^m f:{0,1}n→{0,1}m 是待查询的函数， x ∈ { 0,1 } n x \in \{0,1\}^n x∈{0,1}n 是经典输入（叠加在寄存器 $|x⟩$ 中）， f ( x ) ∈ { 0,1 } m f(x) \in \{0,1\}^m f(x)∈{0,1}m 是经典输出。

量子敌手（Quantum Adversaries）：记为 $A^{|f⟩}$，它查询 $f$ 时利用序列 $U\circ f$，其中的 $U$ 是酉算子。

Quantum Random Oracle Model：随机神谕是量子访问的（quantum access），而其他的神谕都是经典访问的（classical access），包括 Pco、Cvo、Dec 都是经典的。

有文章指出，不存在量子敌手 $A^{|f⟩}$，仅仅量子查询 $q$ 次量子神谕 $|f⟩$，就将它从 $2q$-wise independent function 区分出来。因此，量子随机神谕 $|G⟩$ 可以被视为一个有限域 $GF(2^m)$ 上度数为 $2q_H$ 的随机多项式，将查询 QRO 视为对这个随机多项式的求值。

QROM 下的解密失败率的定义为
$$\mathrm{Pr}[COR\text{-}QR{O}_{PKE}^A\to 1]\le \delta (q_G)$$
对应的游戏是

Fine-Grained FO

[HHK17] 给出了细粒度的变换，先从 OW-CPA 构造出 IND-CPA 或者 OW-PCA，然后再继续构造出 IND-CCA，他们的归约比之前的工作更紧。

将这些细粒度转换相互组合，可以获得多种 FO-like 变换：

在原始 FO 的归约中，要求底层 PKE 是无差错的。但是对于 Lattice-based PKE 来说，解密失败往往是不可避免的；解密失败不仅仅影响 FO 归约，甚至会提供弱点：[HNP+03] 利用了 NTRU 标准参数集下的解密失败，给出了私钥恢复攻击。

在 [HHK17] 的归约中考虑了解密失败率的影响，并且 ROM 下的归约过程比之前的工作更紧。不过 QROM 下的归约是十分不紧的，U 变换甚至在 QROM 下没有给出归约。之后的 [JZC+18] 证明了 [HHK17] 的这些转换都是 QROM 安全的（底层 PKE 的安全性要求更强一点），并且给出了更紧的 QROM 归约。

T 变换

采取了去随机化（Derandomization）和重加密（Re-encryption）的结构，

1. 它将任意的 OW-CPA PKE 转化为 OW-PCA det.PKE
2. 如果底层 PKE 额外满足 IND-CPA，那么 ROM 归约是紧的
3. 如果底层 PKE 额外满足 $\gamma$-spraed，那么得到的 det.PKE 也是 OW-VA 的

Encrypt-with-Hash construction：给定底层加密方案 $PKE$ 和哈希函数 $G$，输出的 $PK{E}_1=T[PKE,G]$ 是一个确定性的加密方案。

加密：将 $G(m)$ 作为随机带，
$$En{c}_1(pk,m):=Enc(pk,m;G(m))$$
解密：先计算 $m^{\prime }\leftarrow Dec(sk,c)$，然后使用重加密检查密文的有效性，
$$De{c}_1(sk,c):=\{\begin{array}{rlr}{m}^{\prime },& & [En{c}_1(pk,m^{\prime })=c]\\ \perp ,& & [En{c}_1(pk,m^{\prime })\ne c]\end{array}$$
在 ROM 下，从 OW-CPA 转换到 OW-PCA 的归约是不紧的，

在 ROM 下，从 IND-CPA 转换到 OW-PCA 的归约是紧的，

在 QROM 下，变换 T 也是安全的，不过归约是不紧的，

U 变换

[HHK17] 根据隐式/显式拒绝，以及产生共享秘钥的计算方式，给出了四种变换，

• 它们将 OW-PCA PKE 转化为 IND-CCA KEM
• 如果 PKE 额外是确定性的，那么就只需它是 OW-CPA 的

一、采取 $K=H(c,m)$ 的转换方案（底层 PKE 任意），封装算法：随机采样 $m\leftarrow M$，
$$Encaps(pk):=(c\leftarrow Enc(pk,m;r),K:=H(c,m))$$
解封装：先计算 m ′ ← D e c ( s k,c ) m' \gets Dec(sk,c)，然后检查是否拒绝，

1. 隐式拒绝（implicit rejection）
   $$Decap{s}^{/\perp }(sk,c):=\{\begin{array}{rlr}H(c,m^{\prime }),& & [m^{\prime }\ne \perp ]\\ H(c,s),& & [m^{\prime }=\perp ]\end{array}$$
   其中的 s ∈ { 0,1 } n s \in \{0,1\}^n s∈{0,1}n 是随机种子，作为 $sk$ 的一部分

2. 显式拒绝（explicit rejection）
   $$Decap{s}^{\perp }(sk,$$​​[m′=⊥][m′=⊥]​
   这其实就是 KEM 版本的 REACT/GEM 变换，见 [Dent03]

二、采取 $K=H(m)$ 的转换方案（它要求 PKE 是确定性的，比如 T 变换的结果），封装算法：随机采样 $m\leftarrow M$，
$$Encap{s}_m(pk):=(c\leftarrow det.Enc(pk,m),K:=H(m))$$
解封装：先计算 m ′ ← D e c ( s k,c)，然后检查是否拒绝，

1. 隐式拒绝（implicit rejection）
   $$Decap{s}_m^{/\perp }(sk,c):=\{\begin{array}{r}H(m^{\prime }),1{\}}^n\end{array}$$

2. 显式拒绝（explicit rejection）
   $$Decap{s}_m^{\perp }(sk,$$​​[m′=⊥][m′=⊥]​
   这其实就是 KEM 版本的原始 FO 变换，见 [Dent03]

在 ROM 下，变换 $U^{\perp }$ 的归约是紧的，

在 ROM 下，变换 $U^{/\perp }$ 的归约是紧的，

在 ROM 下，变换 $U_m^{\perp }$ 的归约是紧的，需要 PKE 是 det 的

在 ROM 下，变换 $U_m^{/\perp }$ 的归约是紧的，需要 PKE 是 det 的

在 QROM 下 U 变换不工作。

FO-like KEM

现在，我们组合 T 变换、U 变换，可以得到四种 FO 变换：

在 ROM 下，综合 T 变换以及 U 变换的归约结果，给出 IND-CCA 敌手的最终优势，以及相关参数的选取建议：

QU 变换

可以证明 T 变换在 QROM 下依然工作，但是上述的四种 U 变换并不行。略微修改 $U_m^{\perp }$，就可以获得量子下安全的转换方案。

封装算法：随机采样 $m\leftarrow M$，密文中额外添加 $m$ 的摘要 $d$，要求 $H^{\prime },H$ 是独立的 QRO，
$$QEncap{s}_m(pk):=(ct:=(c\leftarrow Enc(pk,d:=H^{\prime }(m)),K:=H(m))$$
解封装：

1. 显式拒绝：先计算 $m^{\prime }\leftarrow Dec(sk,(c,d))$，然后检查是否拒绝，
   $$QDecap{s}_m^{\perp }(sk,$$​​[m′=⊥]∧[H′(m′)=d][m′=⊥]∨[H′(m′)=d]​

2. 隐式拒绝：先计算 m ′ ← D e c ( s k,d))，然后检查是否拒绝，
   $$QDecap{s}_m^{/\perp }(sk,$$​​[m′=⊥]∧[H′(m′)=d][m′=⊥]∨[H′(m′)=d]​

在 QROM 下，变换 $Q{U}_m^{\perp }$ 的归约是不紧的，注意这里不再需要 PKE 是 det 的，

在 QROM 下，变换 $Q{U}_m^{/\perp }$ 的归约是不紧的，注意这里也不需要 PKE 是 det 的，

另外，在 ROM 下两者都是紧的。

Quantum KEM

现在，我们组合 T 变换、QU 变换，可以得到两种 QFO 变换：

上述的 $G,H^{\prime }$ 的输入都是同一个 $m$，因此实例化的时候可以使用一个输出足够长的 Hash 函数（NTTRU 的思路），统一地计算出随机摘要，然后切分成 3 块来分别使用。

S 变换

因为 T 变换从 OW-CPA 到 IND-CPA 是不紧的，[HHK17] 给出了一种 trade-off between efficiency and tightness.，利用多个独立的 PKE 密文，使得归约时嵌入 OW-CPA 挑战时更加容易，猜测次数变少，从而减小了损失因子。

加密：随机采样 $x_1,\cdots ,x_l$，以及随机带 $r_1,r_l$，
$$En{c}_l(pk,m):=(m\oplus F(x_1,x_l),Enc(pk,x_1;r_1),x_l;r_l))$$
解密：计算 $x_i^{\prime }\leftarrow Dec(sk,c_i),\forall i=1,l$，
$$De{c}_l(sk,(c_0,c_1,c_l))=c_0\oplus F(x_1^{\prime },x_l^{\prime })$$
在 ROM 下，从 OW-CPA 到 IND-CPA 是紧的，代价是计算效率增加、解密失败率增加，

它在 QROM 下不工作。

Reduce RLWE to IND-CCA

[AOP+17] 使用底层 RLWE-based PKE 特有的弱同态性质，在 ROM 下直接将 RLWE 归约到了 IND-CCA KEM，并不存在中间的 IND-CPA PKE，获得了紧的归约。它不是通用的转换，仅仅适用于格密码，他们称之为 LIMA（LattIce MAthematics）。对比 [Dent03] 的通用结果是不紧的。

此外，LIMA 的 IND-CCA KEM 相较于 IND-CPA PKE 并没有 ciphertext overhead，两者的通信开销是完全一样的。

首先，构造 IND-CPA 安全的 RLWE-based PKE，

然后，简单地根据 [Dent03] 的现代化 FO-KEM 描述，将它转化为 IND-CCA KEM，

不过，如果直接应用 [Dent03] 的通用归约结果（从 OW-CPA 到 IND-CCA），它是不紧的。[HHK17] 已经证明了 [Dent03] 的通用构造对于 IND-CPA 是紧的。而恰好上述的 RLWE-based PKE 是紧归约到 RLWE 问题的，因此 [AOP+17] 完全可以视为 [HHK17] 的一个特例。

针对于 LWE 的特殊性，[AOP+17] 给出了一个不通用的紧归约，

其中的 $Ad{v}^{LWE}$ 游戏是：

Remove the Additional Hash

[BDF+11] 给出了 Quantum ROM 的概念，因为 QROM 下的模拟器无法学习敌手的 RO queries 信息（不存在 RO-query List），他们介绍了一种 history-free reduction 技术，并证明了它意味着 QROM 下安全。

[TU16] 提出，在密文上添加额外的保长哈希（additional length-preserving hash），被建模为 RO，那么在归约过程中，模拟器可以使用某独立函数模拟这个 RO，从而不需要私钥，就可以直接给出解密响应。不过有文章认为，似乎这个保长哈希仅仅是归约技巧，并不提供安全性。

[HHK17] 提出的 Modular FO transformations，他们仅仅证明了变换 T 是 QROM 工作的，并没有给出变换 U 在 QROM 下的归约。他们使用了 [TU16] 的技术，在密文上添加额外的哈希函数，证明了变换 QU 是在 QROM 下安全的。

一般来说，为了提供 $128$ 比特的量子安全性，只需要使得哈希函数的输出长度为 $256$ 比特。然而，[TU16] 的归约技术强烈依赖于保长哈希，但是消息空间的规模往往远大于 $256$ 比特（比如 NTRU 的为 $1128$ 比特），导致了密文规模的扩张较大。[JZC+18] 开发了一种新的 QROM 下归约技术，可以使得模拟器无需读取敌手 RO queries，从而移除了这个哈希。他们给出了变换 U 在 QROM 下的归约，并且通过减少 one-way to hiding (OW2H) lemma 的调用次数，给出了比 [HHK17] 的 QFO 更紧的 FO 的归约。

qPCA & qPVCA & DS Security

[JZK+18] 提出了两个量子加强的安全性：qPCA 和 qPVCA，也就是敌手可以量子访问 plaintext checking oracle（Pco），不过 validity checking oracle（Val）依旧是经典的。

另外，针对于确定性 PKE（简记 DPKE），可以定义一种不标准的安全性：不交的可模拟性（Disjoint Simulatability,DS），

所有的 DS-secure DPKE 都是 OW-qPCA 安全的，并且如果底层 DPKE 满足这种安全性，那么可以使得转换 U 的 QROM 归约更紧。

Modular FO in QROM

[JZK+18] 的结果汇总如下：

首先是 [HHK17] 的两个 FO 变换的 QROM 归约结果，

1. 定义 $KEM\text{-}I:=F{O}^{/\perp }[PKE,G,H]$，其中 $G$ 用于产生底层 PKE 的随机带 $G(m)$，$H$ 用于生成共享秘密 $H(m,c)$，它们都建模为 RO
2. 定义 $KEM\text{-}II:=F{O}_m^{/\perp }[PKE,f]$，其中 $G$ 用于产生底层 PKE 的随机带 $G(m)$，$H$ 用于生成共享秘密 $H(m)$，另外的 $f$ 是一族 PRF，用于隐式拒绝 $f_s(c)$，在 [HHK17] 中它被实例为 $H(s,c)$

它们在 QROM 下的归约，比 [HHK17] 的 QFO 更紧：

接下来是变换 T 的 QROM 归约结果，简记 $PK{E}^{\prime }=T[PKE,G]$，[HHK17] 已经证明了它的转换结果是 QROM 下 OW-CPA 安全的，而 [JZK+18] 进一步证明了它也是 OW-qPCA 安全的。

最后是四个 U 变换的 QROM 归约结果，

1. 定义 $KEM\text{-}III:=U^{/\perp }[PK{E}^{\prime },H]$，隐式拒绝为 H ( s,c)
2. 定义 $KEM\text{-}IV:=U^{\perp }[PK{E}^{\prime },H]$，显式拒绝
3. 定义 $KEM\text{-}V:=U_m^{/\perp }[PK{E}^{\prime },f]$，隐式拒绝为 $f_s(c)$，这里的 $f$ 是 PRF
4. 定义 $KEM\text{-}VI:=U_m^{\perp }[PK{E}^{\prime },H]$，显式拒绝

[HHK17] 没能给出它们在 QROM 下的归约，[JZK+18] 采用新的归约技术，给出了它们的 QROM 归约，并且足够紧。

对于 $K=H(m,c)$ 的两个变换，它需要底层 PKE 是 qPCA 以及 qPVCA 安全的，而 [HHK17] 中只要求 PCA 和 PCVA（但 QROM 不工作），

对于 $K=H(m)$ 的两个变换，[JZK+18] 需要的条件和 [HHK17] 一样，

Oracle Cloning

Domain Separation

[BR93] 明确了 Random Oracle 范式，并给出了 CCA-PKE、Hash-based Sign、FS-type NIZK 的应用。

ROM 范式流程：

1. 形式化定义密码协议 $\Pi$（理想世界），各个参与方可以访问某 Random Oracle
2. 设计有效的密码协议 $P$（现实世界，但是可访问 RO）
3. 证明协议 $P$ 满足 $\Pi$ 的定义
4. 将 RO 替换为某个 Hash 函数

[BR93] 指出，困难问题和密码协议都应当独立于 Hash 函数，否则可以构造出某方案，使得它在 ROM 下可证明安全，但是采取此 Hash 函数的实例化并不安全！

虽然已有的 Hash 函数不一定是好的，但是可以通过一些简单变换，打破它们的结构：

1. 对输出截断（truncate）或者折叠（fold）
2. 对输入限制长度，例如 $|x|\le 256$
3. 以非标准化的方式调用，例如 $H(x)\to H(xx)$
4. 首先执行块压缩（block compress），例如 H ′ : { 0,1 } 512 → { 0,1 } 128 H':\{0,1\}^{512} \to \{0,1\}^{128} H′:{0,1}512→{0,1}128，设置 $H(H^{\prime }(x))$

Oracle Cloning Functor

[BDG20] 指出，密码协议如果使用使用了多个 RO，不同的 RO 实例化应当是相互独立的。否则将存在特别高效的攻击，他们甚至打破了若干个 NIST PQC 1-Round 的 KEM 方案。 在 [HHK17] 的 FO/QFO 中需要使用三个独立的 RO，另外底层 PKE 本身也需要使用一个 RO，一共需要四个随机神谕。现在的问题是，如何只用单个 Hash 函数，安全地实例化 IND-CCA KEM 中的全部神谕。

[BDG20] 形式化了域分离，定义了 “神谕克隆技术”。他们提出了一个强度介于 MRH-indiff 和 reset-indiff 之间的只读不可辨别性（Read-Only Indifferentiability,rd-indiff）的安全框架，可在多阶段游戏中保持安全性，足够 KEM 的需要。

函子 $\text{F}:SS\to ES$，domain 是一组起始函数（Starting-function Space），range 输一组结束函数（Ending-function Space），函子的不可辨别性指的是，$F[s],s{\leftarrow }_{R}ES$ 可以模拟 $e{\leftarrow }_{R}ES$，因此使用组合定理（composition theorem）密码协议中的 $e$ 可以被 $F(s)$ 安全地代替。

他们提出了可翻译函子（translating functors）以及它们的逆（invertibility），

我们称某函子 $\text{F}$ 是可翻译的，如果存在 QT（query translator）和 AT（answer translator），使得 $\text{F}={\text{TF}}_{QT,AT}$。我们称某函子 $\text{F}$ 关于工作域 $\mathcal{W}$ 是可逆的，如果存在 QTI 和 ATI，使得对于 $\forall e\in ES,\forall W\in \mathcal{W}$ 都有 ${\text{TF}}_{QT,AT}[P[e{]}_{QTI,ATI}](W)=e(W)$。[BDG20] 证明了：任意的可逆可翻译函子都满足 rd-indiff 安全的。

他们给出了三种实用的函子：令 $s$ 是单个 Hash 函数，我们需要构造出 $n$ 个 RO 实例 $e(i,\cdot )$，

• 前缀函子（prefix functor）：某个公开确定的向量 $p=[p_i{]}_{i\in I}$，它是无前缀的（prefix-free），即每个 $p_i$ 都不是其他 $p_j,j\ne i$ 的前缀，那么定义
  $${\text{F}}_{pf(p)}[s](i,X):=s(p_i\Vert X)$$

• 分裂函子（output-splitting functor）：假设 $s$ 的输出长度满足 $l_{}=l_1+\cdots +l_n$，其中 $l_i$ 是各个 $e(i,\cdot )$ 的输出长度，设置 $L_i=l_1+\cdots +l_i$，那么定义
  $${\text{F}}_{spl}[s](i,X):=s(X)[L_{i-1}+1,L_i]$$

• 恒等函子（identity functor）：这个函子就直接是
  $${\text{F}}_{id}[s](i,X):=s(X)$$
  但是需要额外约束虚拟域分裂（virtual domain separation），即对于不同的 e ( i,⋅) 它们的输入值互不相同。比如强制输入长度分化（length differentiation），即对于不同的 e ( i,⋅) 它们的输入长度不同。

此外，[BDG20] 还定义了工作域（working domain）的概念，即使某函子在 full-domain 上不是 rd-indiff 的，在合适的子域上依旧可以实现 rd-indiff 安全性。他们进而提出了兼容工作域的组合定理（working-domain-conscious composition theorem for KEMs），归约是紧的，从而完成 CCA-IND KEM 中的 RO 实例化。

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