数字图像处理(9)：拉普拉斯算子增强

1. 拉普拉斯算子

Laplace算子是一种各向同性算子，二阶微分算子，在只关心边缘的位置而不考虑其周围的象素灰度差值时比较合适。Laplace算子对孤立象素的响应要比对边缘或线的响应要更强烈，因此只适用于无噪声图象。存在噪声情况下，使用Laplacian算子检测边缘之前需要先进行低通滤波。所以，通常的分割算法都是把Laplacian算子和平滑算子结合起来生成一个新的模板。

拉普拉斯算子，二阶微分线性算子。与一阶微分相比，二阶微分的边缘定位能力更强，锐化效果更好。使用二阶微分算子的基本方法是定义一种二阶微分的离散形式，然后根据这个形式生成一个滤波模板，与图像卷积。

各向同性滤波器，图像旋转后响应不变，这就要求滤波模板自身是对称的，如果不对称，结果就是，当原图旋转90°时，原图某一点能检测出细节（突变）的，现在却检测不出来，这就是各向异性的原因。我们更关心的是各向同性滤波模板，对图像的旋转不敏感。

对于二维图像 f(x,y)，二阶微分最简单的定义–拉普拉斯算子定义为：

对于任意阶微分算子都是线性算子，所以二阶微分算子和后面的一阶微分算子都可以用生成模板然后卷积的方式得出结果。

也就是一个点的拉普拉斯的算子计算结果是上下左右的灰度的和减去本身灰度的四倍。同样，可以根据二阶微分的不同定义，所有符号相反，也就是上式所有灰度值全加上负号，就是-1，-1，-1，-1，4。但要注意，符号改变，锐化的时候与原图的加或减应当相对变化。上面是四邻接的拉普拉斯算子，将这个算子旋转45°后与原算子相加，就变成八邻域的算子了，也就是一个像素周围一圈8个像素的和与中间像素8倍的差，作为拉普拉斯计算结果。

因为要强调图像中突变（细节），所以平滑灰度的区域，无响应，即模板系数的和为0，也是二阶微分必备条件。

最后的锐化公式：

g是输出，f为原始图像，c是系数，也就是要加上多少细节的多少，与上一篇的锐化过程是一致的，先提取细节，然后再加（或者减去负细节）到原图中。

得到滤波模板，此模板尺寸恒定，就是3x3，不像平滑模板，尺寸可变：

拉式算子用来改善因扩散效应的模糊特别有效，因为它符合降制模型。扩散效应是成像过程中经常发生的现象。

Laplacian算子一般不以其原始形式用于边缘检测，因为其作为一个二阶导数，Laplacian算子对噪声具有无法接受的敏感性；同时其幅值产生算边缘，这是复杂的分割不希望有的结果；最后Laplacian算子不能检测边缘的方向；所以Laplacian在分割中所起的作用包括：

（1）利用它的零交叉性质进行边缘定位；

（2）确定一个像素是在一条边缘暗的一面还是亮的一面；

一般使用的是高斯型拉普拉斯算子（Laplacian of a
Gaussian,LoG)，由于二阶导数是线性运算，利用LoG卷积一幅图像与首先使用高斯型平滑函数卷积改图像，然后计算所得结果的拉普拉斯是一样的。所以在LoG公式中使用高斯函数的目的就是对图像进行平滑处理，使用Laplacian算子的目的是提供一幅用零交叉确定边缘位置的图像；图像的平滑处理减少了噪声的影响并且它的主要作用还是抵消由Laplacian算子的二阶导数引起的逐渐增加的噪声影响。

2. 月球图像

本图像大小为400*400，8位灰度图像。

3. 代码实现

平台：vs2015
语言：C语言

流程：
1）读取图片
2）对每个像素进行拉普拉斯计算
3）输出处理后的图片
4）改变拉普拉斯算子，重复上述流程

关键代码：

    for (int i = 0; i < height; i++)
    {
        for (int j = 0; j < width; j++)
        {
            ia1 = (i + 1 > width - 1) ? width - 1 : i + 1;
            ja1 = (j + 1 > width - 1) ? width - 1 : j + 1;
            im1 = (i - 1 < 0) ? 0 : i - 1;
            jm1 = (j - 1 < 0) ? 0 : j - 1;
            temp = input[im1 * width + j] + input[i * width + jm1] - 4 *
input[i * width + j] + input[i * width + ja1] + input[ia1 * width + j];
            temp = temp + input[i * width + j];
            if (temp < 0)temp = 0;
            output[i * width + j] = (unsigned char)temp;
        }
    }

处理结果：

分析：

观察图4可以看到月球表面的边缘部分、变化的部分更加突出和明显，起到了锐化的作用

图3显然不太对，分析后感觉是不能用

0 1 0

1 -3 1

0 1 0

改为

0 1 0

1 -4 1

0 1 0

计算后temp = -temp + input[i * width + j];

结果为

考虑到图1和图2不一样，所以图5和图3尽管相似其实不一样。

4. 遇到问题

以前写的代码有一处bug

    //保存文件
    fp = fopen("output.raw", "wb");
    for (int i = 0; i < height; i++){
        for (int j = 0; j < width; j++){
            fwrite(output, 1, 1, fp);
            output++;
        }
    }
    fclose(fp);

这一次添加了释放free(output);

结果报错，最终原因是此时output的位置已经变了，需要添加一句

output -= height * width;

5. 附代码：

#include <stdio.h>  
#include <stdlib.h>  
#include <math.h>
#include <string.h>  

#define height  400  
#define width   400 

typedef unsigned char  BYTE;    // 定义BYTE类型，占1个字节

int main(void)
{
    FILE *fp = NULL;
    BYTE *input = NULL;
    BYTE *output = NULL;
    int temp;
    int ia1,ja1,im1,jm1;
    input = (BYTE*)malloc(width * height * sizeof(BYTE));
    output = (BYTE*)malloc(width * height * sizeof(BYTE));
    fp = fopen("blurry_moon.raw", "rb");
    for (int i = 0; i < height; i++){
        for (int j = 0; j < width; j++){
            fread(input, 1, 1, fp);
            input++;
        }
    }
    input -= height * width;
    fclose(fp);

    //拉普拉斯
    //       0      +1      0
    //      +1      -4      +1
    //       0      +1      0
    for (int i = 0; i < height; i++)
    {
        for (int j = 0; j < width; j++)
        {
            ia1 = (i + 1 > width - 1) ? width - 1 : i + 1;
            ja1 = (j + 1 > width - 1) ? width - 1 : j + 1;
            im1 = (i - 1 < 0) ? 0 : i - 1;
            jm1 = (j - 1 < 0) ? 0 : j - 1;
            temp = input[im1 * width + j] + input[i * width + jm1] - 4 *
input[i * width + j] + input[i * width + ja1] + input[ia1 * width + j];
            temp = temp + input[i * width + j];
            if (temp < 0)temp = 0;
            output[i * width + j] = (unsigned char)temp;
        }
    }
   //保存文件
    fp = fopen("output.raw", "wb");
    for (int i = 0; i < height; i++){
        for (int j = 0; j < width; j++){
            fwrite(output, 1, 1, fp);
            output++;
        }
    }
    output -= height * width;
    fclose(fp);
    free(input);
    free(output);
    return 0;
}

本工程源码已更新至github，欢迎star，欢迎PR:)