为什么当我们将c中的每个边的成本更改为c'= log17c时，G中的每个MST仍然是G'中的MST反之亦然？

如何解决为什么当我们将c中的每个边的成本更改为c'= log17c时，G中的每个MST仍然是G'中的MST反之亦然？

备注：c'是以17为底的logc
MST表示（最小生成树）
当我们使用线性函数转换每条边的成本时，很容易证明结论是正确的。
但是log函数不是线性函数，我不明白为什么这个结论是正确的。
补充说明：

我没有考虑特定的算法，例如贪婪算法。我只是考虑转换后两棵树的权重之和之间的关系。 如果（a + b）>（c + d），（log a + log b）可能不是>（logc + logd），则从数值上讲。 如果由G生成的树具有两个边a和b，则由G生成的另一棵树具有c和d，a + b 因此，我想基于“ if（a + b）>（c + d），（log a + log b）可能不是>（logc + logd）”构造一个反例，但是我失败了。

解决方法

好吧，它很容易理解...让我看看能否为您分解一下

c` = log_17(c) // here 17 is base

log可能不是线性函数...但是我们可以这样说：

log_b(x) > log_b(y) if x > y and b > 1 (and of course x > 0 and y > 0)

我希望您能得到我写的方程式...用均值表示，考虑一个底数“ b”，使得b> 1，如果x> y，则log_b（x）大于log_b（y）

因此，如果我们将此规则应用于您的MST of G成本中，那么我们看到，为G选择的那些边，如果{ {1}}。

更新：据我所知，您在理解证明时遇到了问题，我在说明一下：

我想，您知道c' = log_17(c) // here 17 is base是MST construction。我们将使用greedy来证明其正确性。（以防万一，您不知道kruskal的算法是如何工作的，您可以在某处阅读它，或者只是在Google上搜索，就会发现数以百万计的资源）。现在，让我写一些kruskal's algo的kruskal边缘选择步骤：

MST of G

现在，在构造// the following edges are sorted by cost..i.e. c_0 <= c_1 <= c_2 .... c_0: A,F // here,edge c_0 connects A,F,we've to take the edge in MST c_1: A,B // it is also taken to construct MST c_2: B,R // it is also taken to construct MST c_3: A,R // we won't take it to construct to MST,cause (A,R) already connected through A -> B -> R c_4: F,X // it is also taken to construct MST ... ... so on... 时，我们必须选择MST of G'形式的边

现在，如果我们使用c' = log_17(c) // where 17 is base转换边，则log of base 17变成c_0，c_0'变成c_1，依此类推...

但是我们知道：

c_1'

所以，我们可以这样说

log_b(x) > log_b(y) if x > y and b > 1 (and of course x > 0 and y > 0)

现在，我们可以说：

log_17(c_0) <= log_17(c_1),cause c_0 <= c_1
in general,log_17(c_i) <= log_17(c_j),where i <= j

因此，构造c_0` <= c_1` <= c_2` <= c_3` <= .... 的边缘选择过程将是：

MST of G'

与// the following edges are sorted by cost..i.e. c_0` <= c_1` <= c_2` .... c_0`: A,edge c_0` connects A,we've to take the edge in MST c_1`: A,B // it is also taken to construct MST c_2`: B,R // it is also taken to construct MST c_3`: A,R) already connected through A -> B -> R c_4`: F,X // it is also taken to construct MST ... ... so on... ...

相同

这最终证明了定理。...

希望您能理解...如果在评论中不问我，您不清楚什么...

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表征生成树T为最小生成树的一种方法是，对于不在T中的每个边缘e，由e和T的边缘形成的循环（e的基本循环关于T）没有比e更昂贵的边缘。希望通过这种特性，您可以看到如何证明使用任何增加的函数来转换成本都可以保留最小的生成树。

有一个单行证明此条件是必要的。如果基本周期包含更昂贵的边，我们可以将其替换为e并得到价格低于T的生成树。

这个条件并不足够明显，因为乍一看似乎我们正在尝试从局部最优条件证明全局最优。为了证明这一说法，让T为满足条件的生成树，让T'为最小生成树，让G'为图，其边为T和T'的边的并集。在G'上运行Kruskal算法，通过偏爱T中的边缘而不是T中的边缘来打破联系。令T''为G'中生成的最小生成树。由于T'是G'中的生成树，因此T''的开销不大于T'，因此T''是G和G'中的最小生成树。

相反，假设T''≠T。然后在T中存在一条边，但在T''中不存在。令e为Kruskal算法考虑的第一个此类边缘。在考虑e时，它在从T''中选择的边缘中形成了一个循环C。由于T是非循环的，因此C \ T是非空的。通过平局决胜标准，我们知道C \ T中的每个边成本都小于e。观察到C \ T中的某些边e'在T \ {e}的两个连接分量中的每个必须具有一个端点，我们推断e'相对于T的基本周期包含e，这违反了局部最优性条件。总之，T = T''，因此是G中的最小生成树。

如果您想更深入地研究，可以在matroids的理论中抽象出这种逻辑。