嵌套循环的大O表示法和Dijkstra算法

如何解决嵌套循环的大O表示法和Dijkstra算法

我有以下代码：

for each nodeG in Graph
   for each nodeS in subset
       path(nodeG,nodeS) // using dijkstra that in the best has O(V lg V + E);
   end
end

每次执行主循环时，都会从队列中提取一个顶点。假设图中有V个顶点，则队列可能包含O（V）个顶点。假设优先队列的堆实现，每个弹出操作将花费O（lg V）时间。因此，执行主循环本身所需的总时间为O（V lg V）。另外，我们必须考虑花费在函数扩展上的时间，这会将函数handle_edge应用于每个输出边缘。由于expand每个顶点仅被调用一次，handle_edge每个边缘仅被调用一次。它可能调用push（v'），但是在整个执行过程中最多可以有V个这样的调用，因此该案例分支的总成本最多为O（V lg V）。但是，另一种情况下的分支可能被称为O（E）次，并且每次执行递增堆优先级都需要O（lg V）时间。因此，总运行时间为O（V lg V + E lg V），这是O（E lg V），因为假设连接图，则V为O（E）。

（还有另一个更复杂的优先级队列实现方式，称为Fibonacci堆，该实现在O（1）时间内实现crease_priority，因此Dijkstra算法的渐近复杂度变为O（V lg V + E）；但是，常数因子较大使斐波那契堆对于大多数用途不切实际。）

所以基本上现在对于每个两个，我们都有O（n ^ 2）。但是路径实际上是Dijkstra算法，其中大哦是O（V lg V + E）。如何将其乘以总的大哦？

解决方法

我理解您这样的问题（如果我错了，请纠正我）：

您尝试为图中的每对节点计算Dijkstra。因此图中有V（V-1）/ 2对（V是顶点数）。

然后，V（V-1）（即您计算Dijkstra的O（V ^ 2）倍，复杂度为O（V + ElogV）（我不知道您从何处获得O（VlogV + E ），但可能不正确）

总体来说，复杂度为O（V ^ 2logV + EV ^ 2）