如何解决在C ++中用下限,ceil和向外舍入模式除整数
最近,我看到this question询问如何使用 ceil 舍入(朝正无穷大)舍入整数。不幸的是,答案要么不适用于带符号整数,要么存在下溢和上溢问题。
例如,accepted answer具有以下解决方案:
q = 1 + ((x - 1) / y);
x
为零时,~0
出现下溢,结果不正确。
如何正确地对有符号和无符号整数进行 ceil 舍入,以及如何实现 floor (向负无穷大)和 outwards (远离零)?
解决方法
在C ++中,/
除法运算默认使用 truncate (向零)舍入。我们可以将除法结果调整为零以实现其他舍入模式。
请注意,当除法没有余数时,所有舍入模式都是等效的,因为不需要舍入。
考虑到这一点,我们可以实现不同的舍入模式。
但是在开始之前,我们将需要一个用于返回类型的帮助程序模板,以便我们不会在所有地方都使用auto
返回类型:
#include <type_traits>
/**
* Similar to std::common_type_t<A,B>,but if A or B are signed,the result will also be signed.
*
* This differs from the regular type promotion rules,where signed types are promoted to unsigned types.
*/
template <typename A,typename B>
using common_signed_t =
std::conditional_t<std::is_unsigned_v<A> && std::is_unsigned_v<B>,std::common_type_t<A,std::common_type_t<std::make_signed_t<A>,std::make_signed_t<B>>>;
天花板(朝+∞)
对于负商,Ceil 舍入与 truncate 舍入相同,但是对于正商和非零余数,我们将舍入为零。这意味着我们增加了非零余数的商。
由于if-constexpr
,我们可以仅使用一个函数来实现所有功能:
template <typename Dividend,typename Divisor>
constexpr common_signed_t<Dividend,Divisor> div_ceil(Dividend x,Divisor y)
{
if constexpr (std::is_unsigned_v<Dividend> && std::is_unsigned_v<Divisor>) {
// quotient is always positive
return x / y + (x % y != 0); // uint / uint
}
else if constexpr (std::is_signed_v<Dividend> && std::is_unsigned_v<Divisor>) {
auto sy = static_cast<std::make_signed_t<Divisor>>(y);
bool quotientPositive = x >= 0;
return x / sy + (x % sy != 0 && quotientPositive); // int / uint
}
else if constexpr (std::is_unsigned_v<Dividend> && std::is_signed_v<Divisor>) {
auto sx = static_cast<std::make_signed_t<Dividend>>(x);
bool quotientPositive = y >= 0;
return sx / y + (sx % y != 0 && quotientPositive); // uint / int
}
else {
bool quotientPositive = (y >= 0) == (x >= 0);
return x / y + (x % y != 0 && quotientPositive); // int / int
}
}
乍一看,有符号类型的实现似乎很昂贵,因为它们同时使用整数除法和模除法。但是,在现代体系结构上,部门通常会设置一个标志来指示是否存在剩余物,因此x % y != 0
在这种情况下是完全空闲的。
您可能还想知道为什么我们不先计算商,然后再检查商是否为正。这是行不通的,因为我们已经在该划分期间失去了精度,因此我们以后无法执行此测试。例如:
-1 / 2 = -0.5
// C++ already rounds towards zero
-0.5 -> 0
// Now we think that the quotient is positive,even though it is negative.
// So we mistakenly round up again:
0 -> 1
地板(朝-∞方向)
对于正商,底数舍入与 truncate 相同,但是对于负商,我们舍入为零。这意味着我们递减了非零余数的商。
template <typename Dividend,Divisor> div_floor(Dividend x,Divisor y)
{
if constexpr (std::is_unsigned_v<Dividend> && std::is_unsigned_v<Divisor>) {
// quotient is never negative
return x / y; // uint / uint
}
else if constexpr (std::is_signed_v<Dividend> && std::is_unsigned_v<Divisor>) {
auto sy = static_cast<std::make_signed_t<Divisor>>(y);
bool quotientNegative = x < 0;
return x / sy - (x % sy != 0 && quotientNegative); // int / uint
}
else if constexpr (std::is_unsigned_v<Dividend> && std::is_signed_v<Divisor>) {
auto sx = static_cast<std::make_signed_t<Dividend>>(x);
bool quotientNegative = y < 0;
return sx / y - (sx % y != 0 && quotientNegative); // uint / int
}
else {
bool quotientNegative = (y < 0) != (x < 0);
return x / y - (x % y != 0 && quotientNegative); // int / int
}
}
实现几乎与div_ceil
相同。
远离零
远离零与 truncate 完全相反。基本上,我们需要根据商的符号递增或递减,但前提是存在余数。这可以表示为将商的sgn
添加到结果中:
template <typename Int>
constexpr signed char sgn(Int n)
{
return (n > Int{0}) - (n < Int{0});
};
使用此辅助函数,我们可以完全实现 up 舍入:
template <typename Dividend,Divisor> div_up(Dividend x,Divisor y)
{
if constexpr (std::is_unsigned_v<Dividend> && std::is_unsigned_v<Divisor>) {
// sgn is always 1
return x / y + (x % y != 0); // uint / uint
}
else if constexpr (std::is_signed_v<Dividend> && std::is_unsigned_v<Divisor>) {
auto sy = static_cast<std::make_signed_t<Divisor>>(y);
signed char quotientSgn = sgn(x);
return x / sy + (x % sy != 0) * quotientSgn; // int / uint
}
else if constexpr (std::is_unsigned_v<Dividend> && std::is_signed_v<Divisor>) {
auto sx = static_cast<std::make_signed_t<Dividend>>(x);
signed char quotientSgn = sgn(y);
return sx / y + (sx % y != 0) * quotientSgn; // uint / int
}
else {
signed char quotientSgn = sgn(x) * sgn(y);
return x / y + (x % y != 0) * quotientSgn; // int / int
}
}
未解决的问题
不幸的是,这些功能不适用于所有可能的输入,这是我们无法解决的问题。
例如,将uint32_t{3 billion} / int32_t{1}
除以得到int32_t(3 billion)
,这是使用32位带符号整数无法表示的。
在这种情况下,我们会产生下溢。
使用较大的返回类型将是64位整数以外的所有选项,因为64位整数没有更大的选择。 因此,用户有责任确保在他们将未签名的数字传递给该函数时,它等同于其签名表示。
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