如何解决PA | B= PA和PB | A= PB意味着独立吗?
我正在研究KhanAcademy的练习题,并且遇到了这个问题:
150名十年级高中班的学生参加了关于 他们拥有哪些视频游戏机。 60名学生回答其中之一 他们的游戏机是Playstation,50个回答是 控制台是Xbox。其中,有20个同时拥有 系统。
让A是以下事件: 班级有一个Playstation,B是学生有一个 XBOX。
P(A | B)= P(A)吗?事件A和事件B是否独立?
使用给定值,因为P(A | B)= 20/50 = 2/5,而P(A)= 60/150 = 2/5,所以P(A | B)= P(A),因此他们是平等的。这是否意味着他们是独立的?如果我将拥有Playstation的学生人数更改为50(其他所有人都保持不变),则P(A | B)= 2/5但P(A)= 1/3,则他们不相等。如果这些是真正独立的事件,那么不管这些值是什么,原始关系都不会成立吗?
解决方法
是的!如果Pr(A | B)= Pr(A),则表明B的结果与A的概率无关。因此,这两个事件是独立的。
,独立事件的定义要求
P(A B) = P(A) . P(B) [equation 1]
在这种情况下,我们有
P(A|B) = P(A) [equation 2]
根据定义,
P(A|B) = P(A B) / P(B) [equation 3]
Combinig方程2和3,我们得到
P(A B) / P(B) = P(A) =>
P(A B) = P(A) . P(B)
哪个是等式1,所以答案是P(A|B) = P(A)
意味着独立。
请注意,P(A|B) = P(A)
或P(B|A) = P(B)
中只有一个是必需的,因为显示的是P(A|B) = P(A) <=> P(B|A) = P(B) <=> P(A B) = P(A) . P(B)
。
还要注意,改变学生人数会改变概率,因此第二个问题的答案是不,原始关系对任何概率值都不成立。概率值是定义事件独立的因素。
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