如何解决准确的sqrt1 +x / 2^ 2+ x / 2
对于正数sqrt(1 + (x/2)^2) + x/2
,我需要数字计算x
。对于非常大的x
值,直接使用此表达式将失败。如何重写它以获得更准确的评估?
解决方法
对于非常大的x
,您可以排除x/2
:
sqrt(1 + (x/2)^2) + x/2
= (x/2) * sqrt( 1/(x/2)^2 + (x/2)^2/(x/2)^2) + x/2
= (x/2) * sqrt( (2/x)^2 + 1 ) + x/2
对于x > 2/sqrt(eps)
,平方根实际上将求值为1,并且您的整个表达式将简化为x
。
假设您需要覆盖整个范围[0,infinity]
,在这种情况下,我建议仅分支并返回x
和您的原始公式,否则:
if x > 2/sqrt(eps) // eps is the machine epsilon of your float type
return x
else
return sqrt(1 + (x/2)^2) + x/2
,
许多编程语言都提供函数hypot(x,y)
来计算sqrt (x*x + y*y)
,同时避免中间计算中的上溢和下溢。 hypot
的许多实现也比朴素的表达式更准确地计算结果。这些优点是以适度增加运行时间为代价的。
使用此功能,给定表达式可以写为hypot (1.0,0.5*x) + 0.5*x
。如果您选择的编程语言不支持hypot
或同等功能,则您可以调整我在this answer中提供的实现。
注意已经指出,Herbie生成的表达式可能不适用于所有情况。尤其是,用于“改善” Herbie表达式的度量标准可能会生成在您的特定情况下表现较差的表达式。因此,将其输出与谷物盐一起使用。我认为您仍然可以向Herbie咨询以获取想法,但请不要将其用作替代产品。
Herbie(https://herbie.uwplse.org/)建议对您的表情进行以下替换:
或者,在C中:
double code(double x) {
return ((double) (((double) sqrt(((double) (1.0 + ((double) pow((x / 2.0),2.0)))))) + (x / 2.0)));
}
成为:
double code(double x) {
double VAR;
if (((x / 2.0) <= -8569.643649604539)) {
VAR = (1.0 / ((double) ((1.0 / ((double) pow(x,3.0))) - ((double) (x + (1.0 / x))))));
} else {
double VAR_1;
if (((x / 2.0) <= 7.229769585372425e-11)) {
VAR_1 = ((double) ((x / 2.0) + ((double) sqrt(((double) (1.0 + ((double) pow((x / 2.0),2.0))))))));
} else {
VAR_1 = ((double) ((x / 2.0) + ((double) (((double) ((1.0 / x) + ((double) (x * 0.5)))) - (1.0 / ((double) pow(x,3.0)))))));
}
VAR = VAR_1;
}
return VAR;
}
它将生成详细的报告,说明为何将其分为三个区域。 Herbie的输出可能很难看懂,据报道它可能不会更好,但也许可以提供另一种观点。
, hypot()
hypot函数可计算x和y的平方和的平方根,而不会产生过多的上溢或下溢。可能会发生范围错误。
然后使用hypot(1,x/2) + x/2
,代码可能会得到更好的结果;
版权声明:本文内容由互联网用户自发贡献,该文观点与技术仅代表作者本人。本站仅提供信息存储空间服务,不拥有所有权,不承担相关法律责任。如发现本站有涉嫌侵权/违法违规的内容, 请发送邮件至 dio@foxmail.com 举报,一经查实,本站将立刻删除。