如何确定此代码中的最坏情况？

如何解决如何确定此代码中的最坏情况？

for(i=1;i<=n;i++) {
        
    if((i&(i-1))==0) {      
        
        for(j=1;j<=i;j++) {
            f();
        }
    } else {
        f();
    }
    
}

我对此代码做了一些测试用例，当i = 2 ^（i-1）执行第二个for时，如何确定大的O表示法，我认为它可能是O（n ^ 2）。 f（）是O（1），如何获得摊销分析

解决方法

考虑何时(i&(i-1)) == 0。对于2的幂才是正确的（更多详细信息，请参见this post）。小于n的2的幂数是多少？ log(n)。对于log(n)情况，将第二个循环重复i次，而剩余成本为Theta(1)。因此，时间复杂度为（w.l.o.g.假设n是2的幂）：

T(n) = n - log(n) // for i != 2^k
       + (1 + 2 + 2^2 + ... + 2^{log(n)}) // for i = 2^k
     = n - log(n) + 2^{log(n)+1} - 1 = 3n - log(n) - 1 = Theta(n) // 2^log(n) = n

因此T(n) = Theta(n)。

,

答案是n。

表达式( i & ( i - 1 ) ) == 0 )仅在i为2的幂时才为true。因此，它将执行log2（n）次。

下一步是查找从内部循环调用f的次数。 i的值是2的幂，其和被称为“几何级数”，维基百科has the formula。

除去一些常量，几何和与2 ^ N成比例，其中N是序列中元素的数量。在您的情况下，计数为log2（n），2 ^ log2（n）== n。

else块也将被称为O（n）次。

,

所以我实际上对此进行了测试，这是n的意思，因为您以对数（n）的速率达到2的幂，但是每次您达到1的幂都会使输出爆炸2 ^ n。如果它不是2的幂，那么它也是n。

这是我跑的东西

#include <iostream>
#include <string>

int main()
{
    int n = 1000000;
    int count = 0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
            
        if((i&(i-1))==0){       
            
            for(int j=1;j<=i;j++){
                count++;
                std::cout << i << "," << j << ":" << count << std::endl;
            }
        }else{
                count++;
                std::cout << i << ":" << count << std::endl;
        }
    
}}

对于所选值：

10:21

100:220

1000:2013

10000:26369

100000:231054

1000000:2048555

我并不是说运行程序是绝对的答案，只是这是一项有用的检查，即您没有完全离开（例如，如果是n ^ 2或恒定时间）。如您所见，每次输入的10倍或多或少都会对输出产生影响。如果它是n ^ 2，那么最后一行将是第一行的10 ^ 10。如果它是常数，则它将与第一个相似。登录约110万次。

,

当i是2的幂时，内部循环将准确地执行对i的{​​{1}}调用。否则，只有一个电话。

如果f是n的幂，让2，我们总共有

2^m

打来电话，这是

1 + 2 + 4 + ... n + n - m

（在主循环的每次迭代中）平均来说，这3n - 1 - lg(n). 渐近。

---

现在，如果将3与n = 2^m + n'一起使用，则计数为

n' < 2^m

这笔款项仍在1 + 2 + 4 + ... + 2^m + 2^m + n' - m = 3.2^m - 1 + n' - m = 3.n - 2.n' - 1 - Lg(n - n') 中摊销，但更糟的是下降到3了。