函数式编程中的代数结构是什么？

如何解决函数式编程中的代数结构是什么？

我一直在阅读一些有关函数式编程概念和思想的文章。到目前为止，到目前为止，我已经了解了三个主要概念：代数结构，类型类和代数数据类型。我对什么是代数数据类型有很好的理解。我认为总和类型和产品类型相当简单。例如，我可以想象创建一个像Card类型的代数数据类型，它是由两个枚举类型组成的产品类型，Suit（具有四个值和符号）和Rank（具有13个值和符号）。

但是，我仍然想了解确切的代数结构和类型类。我的脑海中只有一张表面水平的图片，但不能完全绕开我的头，例如，不同类型的代数结构，如函子，半定半元，单子等。这些到底有什么不同？如何在编程设置中使用它们？类型类与常规类有什么不同？至少有人能指出我关于抽象代数和函数式编程的好书的方向吗？有人建议我学习Haskell，但是我真的需要学习Haskell才能理解函数式编程吗？

解决方法

"algebraic structure"是一个超越编程的概念，它属于数学。

想象一下所有可能的数学对象深不可测的深海。每个条纹的编号（naturals，reals，p-adic数字...）都在那儿，而且还有字母序列，graphs，{{3} }，trees，以及它们之间所有定义明确的转换和映射。还有很多。

通过指定条件，我们可以尝试将网“抛入大海”并仅保留其中一些实体。就像“事物集合，有一个将这两个事物组合成相同类型的第三个事物的操作，并且该操作具有关联性”。我们可以给这些条件起自己的名字，例如symmetries of geometrical figures。 （因为我们正在谈论高度抽象的内容，所以选择描述性的名称很困难。）

这省略了许多数学上的“海洋”居民，但是描述仍然适合其中的许多人！事物的许多集合都是半群。例如，具有乘法运算的自然数，以及具有串联的字母的非空列表，或"semigroup"。

您可以在附加条件下扩展描述。就像“一个半群，还有一个元素可以将其与任何其他元素组合在一起，从而使另一个元素保持不变”。这限制了适合描述的数学实体的数量，因为您需要更多的数学实体。一些有效的半群将symmetries of a square with composition lack。但是许多数学实体仍将满足扩展的描述。如果您不小心，则可以声明非常严格的条件，以至于不可能有任何数学实体真正适合它们！在其他时候，您可能是如此精确，以致"neutral element"实体适合它们。

仅使用我们要求的一般属性，仅使用这些数学实体的描述，就可以得出关于它们的only one，乍一看并不明显，其结果将适用于 all 符合说明的实体。将这些发现视为“代码重用”的数学等效项。例如，如果我们知道事物的某些集合是一个半群，那么我们可以使用unexpected results来计算指数，而不是将事物与自身进行繁琐的组合n次。但这仅因半组操作的binary exponentiation而起作用。

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您在这里已经问了很多问题，但是我可以尽力回答这些问题：

…不同类型的代数结构，如函子，半定线，单子等。这些到底有什么不同？如何在编程设置中使用它们？

这是学习Haskell时非常常见的问题。在这里，我还不会写出另一个答案-无论如何，完整的答案还是很长的-但是简单的Google搜索会给出一些很好的答案：我可以推荐1 2 3

类型类与常规类有何不同？

（“常规类别”是指您在OOP中找到的类别。）

这是另一个常见问题。基本上，除了名称外，两者几乎没有共同之处。 OOP中的 class 是字段和方法的组合。通过创建该类的 instances 使用这些类。每个实例都可以在其字段中存储数据，并使用其方法来操纵该数据。

相比之下，类型类只是函数的集合（尽管几乎没有任何联系，通常也称为方法）。您可以通过重新定义该类型的类的每个方法来为数据类型声明该类型类的实例（再次，没有连接），然后可以使用该类型的方法。例如，Eq类如下所示：

class Eq a where
    (==) :: a -> a -> Bool
    (/=) :: a -> a -> Bool

您可以通过实现每个函数为Bool定义该类的实例：

instance Eq Bool where
    True == True   = True
    False == False = True
    _ == _         = False

    p /= q = not (p == q)

至少有人能指出我关于抽象代数和函数编程的好书的方向吗？

我必须承认我对此无能为力（无论如何，Stack Overflow仍然是题外话）。

有人建议我学习Haskell，但是我真的需要学习Haskell才能理解函数式编程吗？

不，您不需要-可以从任何功能语言（包括Lisp（尤其是Scheme方言），OCaml，F＃，Elm，Scala等）学习功能编程。Haskell恰好是一种特别的“纯”功能编程语言，并且我也会推荐它，但是如果您只是想学习和理解函数式编程，那么其中任何一个都可以。