图时间复杂度

如何解决图时间复杂度

最近我参加了Google的编码考试，并且对Graph数据结构有疑问， 问题之一是，他们给出了具有N个节点和M个边的无向图G，他给出了Q个查询，在每个查询中，他给出了XYW，在这里我们必须检查从X到Y的每个边是否存在路径必须最多包含权重

每当我使用矩阵表示形式时，都会超出内存限制；如果使用邻接列表表示形式，则会超过时间限制。Question Image

顺便说一下，考试是几天前完成的。

这是我的第一个问题。如果我有任何错误，请在下面评论

解决方法

这可以在O(n log n + q log q)中解决，而您的DFS解决方案是O(m*q)空间，而adj矩阵解决方案是O(n^2)空间

要快速解决此问题，您需要了解DSU（Disjiont Set Union）数据结构（也称为Union Find）。它支持某些节点的高效O(log n)联合，并且可以在O(log n)

中判断某些节点是否已连接

1. 按重量排序所有给定的边缘，升序
2. 将所有给定查询按权重，升序排序（还保存查询索引，因为输出需要按顺序进行）
3. 如果查询要求提供具有边<= w的边的路径，则现在进程逐个查询（使用DSU）将所有仍未添加的边添加到符合条件的图形上
4. 现在可以通过检查查询的start end个节点是否已连接（使用DSU）来回答该问题

示例代码（C ++）：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int Find(int u,vector<int>&P)
{
    return P[u] < 0 ? u : P[u] = Find(P[u],P);
}

void Union(int u,int v,vector<int>&P)
{
    u=Find(u,P);
    v=Find(v,P);
    if(u==v)return;
    P[u]=v;
}

int main()
{
    //input is quite large so we might need fast I/O
    ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0); 

    int t,n,m,q;
    cin>>t;

    while(t--)
    {
        cin>>n>>m>>q;
        vector<int>P(n+1,-1),answers(q);
        vector<array<int,3>>edges; //<storing edges as [w,u,v]
        vector<array<int,4>>queries; //<storing queries as [W,x,y,queryId]

        for(int i=0; i<m; i++)
        {
            int u,v,w;
            cin>>u>>v>>w;
            edges.push_back({w,v});
        }

        for(int i=0; i<q; i++)
        {
            int x,W;
            cin>>x>>y>>W;
            queries.push_back({W,i});
        }

        sort(edges.begin(),edges.end());
        sort(queries.begin(),queries.end());

        int edgeId = 0;

        for(auto&query : queries){
            while(edgeId < edges.size() && edges[edgeId][0] <= query[0]){
                Union(edges[edgeId][1],edges[edgeId][2],P);
                edgeId++;
            }
            answers[query[3]] = Find(query[1],P) == Find(query[2],P);
        }

        for(int i=0; i<q; i++)
            cout<<answers[i]<<(i+1==q?"\n":" ");
    }

}