如何解决如何使用Big O,Omega和Theta进行证明或反证?
1. 4n^2 + 7n + 10 = O(n^2)
2. 3n^2 + 7n - 5 = Theta(n^2)
3. 33n^3 + 4n^2 = omega(n^4)
4. 〖(n+a)〗^b=Θ(n^b) where a and b are constants
我在解决这类问题时遇到问题。请帮忙。
解决方法
本练习的目的是检查您是否了解和理解O(),Omega()和Theta()的定义。因此,重要的是要记住这些定义。我建议首先仔细编写这些定义。
以第一个示例4n^2 + 7n + 10 = O(n^2)
为例。为O(n^2)
意味着您可以找到一个常量k
,这样,如果n
足够大,则4n^2 + 7n + 10
将小于(或等于)k n^2
。 / p>
“如果n
足够大,则为真”表示您可以找到一个常数N
,使得如果n
大于N
,则为真。
要证明(1),您要做的就是展示特定的k
和N
。例如,如果您可以说“对于所有n> 100,则为4n ^ 2 + 7n + 10
要反对(1),您需要证明不存在这样的一对k
和N
。换句话说,您需要证明对手可能会为您选择的任何k
和N
,您都可以展示比n
大的N
。>
现在,想象一下我给你一个简单的问题:
0. 4n^2 = O(n^2)
这将非常容易。您可以选择k=4,N=0
并说“显然,对于所有n> = 0,都是4n ^ 2
但是现在您有:
1. 4n^2 + 7n + 10 = O(n^2)
因此,如果要证明这一点,则必须找到k1
和{{1} }和N1
,以便7n < k1 n^2
尽快n > N1
。然后,您可以总结所有内容并说:“由此得出,k2
一旦大于N2
和10 < k2 n^2
,即{{ 1}}大于n > N2
。因此,您找到了4n^2 + 7n + 10 < 4n^2 + k1 n^2 + k2 n^2 = (4 + k1 + k2) n^2
和n
以及N1
。
接下来的两个示例相似,但是需要定义N2
和n
。
第四个示例要难一些,所以我建议您在尝试4之前先确保您了解1、2和3。
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