n阶乘函数的正确时间复杂度是多少？

我对这个话题非常陌生，我正在尝试掌握与渐近符号有关的所有内容。我想请您对以下问题发表意见：

如果对于一个算法，我们有 T（n）= n！，那么我们可以说其时间复杂度为：

1 x 1 x 1 ... x1 <= n! <= n x n x n ... x n

此关系表示n！ = O（n ^ n）和n！ =Ω（1）。但是，我们不能做得更好吗？我们希望big-oh尽可能接近函数T（n）。如果我们执行以下操作：

n! <= 1 x 2 x 3 x 4 ... x n x n

也就是说，对于倒数第二个元素，我们将（n-1）替换为n。现在这种关系不是真的吗？ n是不是真的！ = O（1 x 2 ... x n x n）？对于下限Ω可以说类似的话。

我不确定我的流程中是否有错误，因此，非常感谢您的输入。预先感谢。

数学陈述n! = O(1 x 2 ... x n x n)是正确的。但是也没有很大的帮助或启发。您想在什么情况下写n! = O(...)？

您对n! = n!很满意，也不需要写n! = O(1 x 2 ... x n x n)。否则您对n! = n!不满意；您想要更好地解释n!有多大的东西；那么您也不应该对n! = O(1 x 2 ... x n x n)感到满意，因为它并不容易理解。

我个人对多项式感到满意，例如n^2。我对指数很满意，例如2^n。我对n^n也有些满意，因为我知道n^n = 2^(n log n)，而且我也知道我不希望为n^n找到更好的表达方式。

但是我对n!不满意。我希望能够将其与指数进行比较。

这里有两个比较：

n! < n^n
2^n < n!

第一个是通过乘积中的每个因子n的上限获得的；第二个是通过将乘积中的每个因子下限2来获得的。

那已经很不错了；它告诉我们n!在指数2^n和超指数n^n之间。

但是您可以很容易地看出上限n^n太高；例如，您可以轻松找到以下更严格的界限：

n! < n^(n-1)
n! < 2 * n^(n-2)
n! < 6 * n^(n-3)

请注意，n^(n-3)大时，n^n比n小很多！这样会好一些，但仍然不能令人满意。

您甚至可以走得更远，注意一半的因素小于n/2，因此：

n! < (n/2)^(n/2) * n^(n/2) = (1/2)^(n/2) * n^n = (n / sqrt(2))^n =~ (0.7 n)^n

这是一个更严格的上限！但是我们可以做得更好吗？我仍然不满意。