如何解决允许相邻一种颜色的索引着色问题的优化
我遇到了这个索引着色问题(不完全是典型的Graph m着色问题),我尝试使用回溯来解决该问题,但是该解决方案仅适用于价值较低的测试用例,而由于指数时间复杂性而无法解决较大的测试用例
如何优化它,使其不会在指数时间内运行。有DP解决方案吗?
问题陈述:
您将获得3个变量:n,k,x
n->要着色的索引数
k->可用颜色数量-> 1,2,3,... K
x->颜色ID,可用于为两个相邻的索引着色。
您必须为 n个索引着色 放置在具有 k种颜色的x轴上,使得没有两个相邻的 索引具有相同的颜色。 但是,还会给您 x colorID ,这是上述规则的例外,因此它 允许有两个相邻的节点,其颜色为colorID = colorID。
在遵循上述规则的同时,您必须找出可以为所有索引着色的总数。
示例。对于,n = 3 k = 2 x = 1:所有可能的解是:(1,1,1),(1,2),(1,1),(2,1),( 2,2)
以下是我的解决方法。
public class ColoringIndices {
public static void main(String[] args) {
int n = 17;
int k = 4;
int x = 3;
placeColors(n,k,x);
}
static int count = 0;
private static void placeColors(int n,int k,int x) {
int currpos = 0;
int[] arr = new int[n];
placeColorsUtil(n,x,currpos,arr);
System.out.println(count % 1000000007);
count = 0;
}
private static void placeColorsUtil(int n,int x,int currpos,int[] arr) {
if(currpos == n){
int mod = 1000000007;
count = count % mod;
count++;
return;
}
for (int colorId = 1; colorId <= k; colorId++) {
if (isSafe(colorId,arr,x)) {
arr[currpos] = colorId;
placeColorsUtil(n,currpos + 1,arr);
}
}
}
private static boolean isSafe(int colorId,int[] arr,int x) {
if (currpos < arr.length && currpos > 0) {
if (colorId != x && arr[currpos - 1] == colorId) {
return false;
}
}
return true;
}
}
解决方法
是的,DP是最后着色的索引是否为x
。我们有两次复发
X(n) = number of valid sequences of length n ending in x
Y(n) = number of valid sequences of length n not ending in x
X(1) = 1
Y(1) = k-1
X(n+1) = X(n) + Y(n)
| | \__/
\/ continue sequence not ending in x with x
continue sequence ending in x with another x
Y(n+1) = (k-1) X(n) + (k-2) Y(n)
| | \________/
| | continue sequence not ending in x in k-2 possible ways
\______/ (excluding the last color (not x in this case) and x)
continue sequence ending in x in k-1 possible ways (excl. x)
可以在时间O(n)
进行评估。答案是X(n) + Y(n)
(如果0
为零,则返回n
。
为便于后人使用,我将尝试获取一种分析解决方案。嗯,k
的存在使这一点不那么有趣。实际上,您只是在评估矩阵的适当功效
( 1 1 )
(k-1 k-2)
无论如何。
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