如何解决芬威克树vs细分树
我需要计算数组上某个范围内的总和,因此遇到了细分树和Fenwick树,我注意到这两个树都以相同的渐近运行时间进行查询和更新。我做了一些研究,这两个数据结构似乎以相同的速度完成了所有工作。两者都具有线性内存使用率(Segment Tree使用的内存是后者的两倍)。
除了运行时间/内存和实现方面的恒定因素之外,我是否还有理由选择一个而不是另一个?
我正在寻找一个客观的答案,例如某些操作比另一种操作更快,或者某些限制条件之一是另一种操作却没有。
我还看到了另外两个关于StackOverflow的问题,但是答案仅描述了这两种数据结构,而不是解释何时一种数据结构可能比另一种更好。
解决方法
我在 cp-Algorithm 上发现了一些可能对您有帮助的信息。
段树 -
- 在 O(logN) 中回答每个查询
- 在 O(N) 中完成预处理
- 优点:时间复杂度高。
- 缺点:与其他数据结构相比,代码量更大。
芬威克树 -
-
在 O(logN) 中回答每个查询
-
在 O(NlogN) 中完成预处理
-
优点:最短的代码,良好的时间复杂度
-
缺点:Fenwick树只能用于L=1的查询,所以是 不适用于很多问题。
评论 Harsh Hitesh Shah 的回答: 反对使用 Fenwick 树的最后一点一般不成立。 反例证明: 假设我们有一个用于前缀和的 Fenwick 树,函数 query(x) 返回从第一个索引 1 开始到包括索引 x 的前缀和。 如果我们想计算某个区间 [L,R] 的总和,其中 1
,我read this on Quora。希望您觉得有用。
- 有些树可以执行,但是BIT无法完成:BIT本质上可以用于累积数量。当需要间隔[i..j]的累积量时,可以找到[1 ... j]和[1 ... i-1]的累积量之差。这仅因加法具有反运算而起作用。如果操作是不可逆的(例如max),则不能执行此操作。另一方面,可以将分段树上的每个间隔视为不相交间隔的并集,并且不需要逆运算
- BIT所需要的内存仅为段树的一半:如果受虐狂的内存限制,您几乎会陷入使用BIT
- 尽管BIT和段树操作均为O(log(n)),但段树操作具有较大的恒定因子:在大多数情况下,这无关紧要。但是再一次,如果您有受虐时间限制,则可能需要从段树切换为BIT。如果BIT / Segment树是多维的,则常数因子可能会成为一个更大的问题。
一些附加信息:
- 段树可以存储也可以隐式存储(就像堆一样),这将占用
2n
空间 - Fenwick 树是一种在线数据结构,这意味着您可以在末尾添加元素,就像数组一样,它仍然可以工作。默认情况下,段树没有此属性。如果您隐式存储它们,您可以通过将段树的大小加倍(就像摊销的
O(log(n))
数组一样)在摊销的O(1)
中实现追加和前置操作。您需要研究段树在内存中的样子,然后相应地放置新空间(您不能只将所有额外空间放在一端)。请记住,由于段树已经占用了2n
空间,因此每次将数组加倍时,您现在都会使用4n
空间 - Fenwick 树的实现速度更快且极其。渐近边界是等价的,但最基本的查询和更新代码几乎是无分支的、非递归的,并且使用的操作很少。它的段树版本几乎可以同样快地制作,但这确实需要额外的努力。值得庆幸的是,这仅在非常大的输入中很重要,因为隐式存储段树具有出色的空间局部性,与存储指针相比,这给了它一个很好的提升
Fenwick 树无法计算log(n)
中的反向查询(据我所知);也就是说,例如,如果我们要存储部分和,我想知道什么索引i
评估为部分和s
,这将需要log(n)^2
。这个过程在log(n)
中对于段树来说是微不足道的- 段树可以执行多种其他查询,其中许多在 Fenwick 树上是不可能的。当然,您要为这种额外的灵活性付出
2n
存储成本
编辑:您可以在 log(n)
中计算此查询!这是我的实现:
def find(self,s):
b = 1
while b < len(bit):
b <<= 1
b >>= 1
index = 0
cur = 0
while b > 0:
if bit[index + b] + cur <= s:
index += b
cur += bit[index]
b >>= 1
return (index,cur)
这将返回最接近目标部分总和的索引和总和(将始终是
好的段树写法:https://cp-algorithms.com/data_structures/segment_tree.html
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