运算后的逆傅立叶变换域

如何解决运算后的逆傅立叶变换域

背景：我观察到一个变量z的样本，该变量z是两个独立且分布均匀的变量x和y的总和。我想在f对称于零的假设下，从z的分布（称为g）中恢复x，y（称为f）的分布。根据{{​​3}}，我们得出f的傅立叶变换等于sqrt（| G |），其中G是g的傅立叶变换。

示例：

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from scipy.stats import gaussian_kde,laplace


# sample size
size = 10000
# Number of points to preform FFT on
N = 501
# Scale of the laplace rvs
scale = 3.0

# Test deconvolution
laplace_f = laplace(scale=scale)
x = laplace_f.rvs(size=size)
y = laplace_f.rvs(size=size)
z = x + y
t = np.linspace(-4 * scale,4 * scale,size)
laplace_pdf = laplace_f.pdf(t)
t2 = np.linspace(-4 * scale,N)

# Get density from z. Kind of cheating using gaussian
z_density = gaussian_kde(z)(t2)
z_density = (z_density + z_density[::-1]) / 2
z_density_half = z_density[:((N - 1) // 2) + 1]
ft_z_density = np.fft.hfft(z_density_half)
inv_fz_density = np.fft.ihfft(np.sqrt(np.abs(ft_z_density)))
inv_fz_density = np.r_[inv_fz_density,inv_fz_density[::-1][:-1]]
f_deconv_shifted = np.real(np.fft.fftshift(inv_fz_density))
f_deconv = np.real(inv_fz_density)

# Normalize to be a pdf
f_deconv_shifted /= f_deconv_shifted.mean()
f_deconv /= f_deconv.mean()

# Plot
plt.subplot(221)
plt.plot(t,laplace_pdf)
plt.title('laplace pdf')

plt.subplot(222)
plt.plot(t2,z_density)
plt.title("z density")

plt.subplot(223)
plt.plot(t2,f_deconv_shifted)
plt.title('Deconvolved with shift')

plt.subplot(224)
plt.plot(t2,f_deconv)
plt.title('Deconvolved without shift')

plt.tight_layout()
plt.show()

结果 Horowitz and Markatou (1996)

问题：这里显然有问题。我认为我不需要转移，但是转移的pdf似乎更接近事实。我怀疑这与通过sqrt（abs（））操作而改变的IFFT范围有关，但我不确定。

解决方法

定义FFT使得与输入采样相关的时间为 t = 0 .. N -1。也就是说，原点在第一个样本中。输出也是如此，相关的频率是 k = 0 .. N -1。

您的分布对称于零，但忽略了t（您无法将其传递给FFT函数），并且知道FFT定义隐含的 t 值是什么，您可以看到您的分布实际上发生了偏移，从而在频域中增加了相位分量。您可以忽略那里的相位（通过使用hfft而不是fft，这意味着您要对输入信号进行移位，使其相对于FFT定义的原点（而不是原点）对称。

fftshift将IFFT产生的信号移位，以使原点回到您想要的位置。我建议您在调用ifftshift之前先使用hfft，以确保信号实际上是该函数所期望的对称。我不知道它是否会有所作为，这取决于如何实现此功能。