如何解决在证明范围内定义函数
我试图证明单射函数在 Coq 中是可逆的。在我的证明中,我的目标是一个“存在”命题。我想定义一个函数,该函数使用来自证明范围的术语(我之前介绍过的类型和函数),然后将该函数显示到“存在”目标。这是我目前所写的内容:
(* function composition *)
Definition fun_comp {A B C: Type} (f:A -> B) (g:B -> C) : A -> C :=
fun a: A => g (f a).
Notation "g .o f" := (fun_comp f g) (at level 70).
Definition nonempty (A: Type) := exists a: A,a = a.
(* identity function for any given type *)
Definition fun_id (A: Type) := fun a: A => a.
(* left invertible *)
Definition l_invertible {A B: Type} (f: A -> B) :=
exists fl:B->A,fl .o f = fun_id A.
Definition injective {A B: Type} (f: A -> B) :=
forall a a': A,f a = f a' -> a = a'.
(* is a given element in a function's image? *)
Definition elem_in_fun_image {A B: Type} (b: B) (f: A -> B) :=
exists a: A,f a = b.
Theorem injective_is_l_invertible:
forall (A B: Type) (f: A -> B),nonempty A /\ injective f -> l_invertible f.
Proof.
intros A B f H.
destruct H as [Hnempty Hinj].
unfold l_invertible.
unfold nonempty in Hnempty.
destruct Hnempty as [a0].
(* here would go my function definition and invoking "exists myfun" *)
这是我要定义的函数:
Definition fL (b: B) := if elem_in_fun_image b f
then f a
else a0.
这是证明窗口的样子:
1 subgoal
A : Type
B : Type
f : A -> B
a0 : A
H : a0 = a0
Hinj : injective f
========================= (1 / 1)
exists fl : B -> A,(fl .o f) = fun_id A
我该怎么做?我对 Coq 很陌生,欢迎提出其他意见和建议。
解决方法
这个定义不能在基本逻辑中进行。您需要添加一些额外的公理:
$arrayToObject
目标是定义一个关系 (* from Coq.Logic.FunctionalExtensionality *)
functional_extensionality : forall A B (f g : A -> B),(forall x,f x = g x) -> f = g
(* from Coq.Logic.Classical *)
classic : forall P : Prop,P \/ ~ P
(* from Coq.Logic.ClassicalChoice *)
choice : forall (A B : Type) (R : A->B->Prop),(forall x : A,exists y : B,R x y) ->
exists f : A->B,R x (f x)).
来表征您要构造的左逆。存在量化的 R
然后将是相反的!您将需要 f
公理来显示 classic
的前提条件,并且您将需要函数外延性来显示您想要的等式。我将把它留作练习,以找出 choice
需要什么以及如何完成证明。
您的脚本应以以下行开头。
Require Import ClassicalChoice FunctionalEquality.
因为,正如@arthur-azevedo-de-amorim 所建议的,您将需要这些公理。
然后,您应该使用 choice
与关系“R y x”为
“f x = A 或者 A 中没有元素使得 f 的图像是 y”。
您将需要公理 classic
来证明 choice
所需的存在陈述:
assert (pointwise : forall y: B,exists x : A,f x = y \/ (forall x : A f x <> y)).
choice
将为您提供返回所需值的函数的存在性语句。你只需要说这个功能是对的。您可以通过键入 destruct (choice ... pointwise)
为该函数命名(您必须填写 ...
)。
您必须证明两个函数之间的相等性,但使用公理 functional_extensionality
,您可以将此问题简化为仅证明两个函数在任何 x
上相等。
对于那个 x,只需实例化函数的特征属性(由 destruct (choice ... pointwise)
产生,
值 f x
。有一个分歧,但右手边的情况是自相矛盾的,因为显然 f x
对于某些 f x
来说是 x
。
对于左侧的情况,您将得到形式的假设(我将 (choice ... pointwise)
产生的函数命名为 it
:
f (it (f x)) = f x
在这里您可以应用您的注入假设。推断出it (f x) = x
。
这几乎说明了证据。在我自己的实验中,我使用了 classic
、NNP
、not_all_ex_not
、functional_extensionality
,它们是来自 ClassicalChoice
的 FunctionalEquality
的引理。
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