数组中满足按位方程的对数

如何解决数组中满足按位方程的对数

我在一次比赛中发现了这个问题。问题是：

给定一个由 N 非负整数 (A1,A2,A3,...,An) 和一个整数 M 组成的数组。您的任务是找到满足以下按位方程的无序数组元素对 (X,Y) 的数量：

2 * set_bits(X|Y) = M + set_bits(X ⊕ Y)

注意：

• set_bits(n) 表示整数 n 的二进制表示中 1 的数量。
• X|Y 表示整数 X 和 Y 的按位或。
• X ⊕ Y 表示整数 X 和 Y 的按位异或。
• 数组元素的无序对是pair (Ai,Aj)，其中1 ≤ i 。

打印满足上述按位方程的无序数组元素对的数量。

1. 样本输入 1：
   N=4 M=2
   arr = [3,4,5]
   样本输出：2
   2 对是 (3,0) 和 (0,5)

2. 样本输入 2：
   N=8 M=2
   arr = [3,5,6,8,1,8]
   样本输出：9

除了brute force之外还有其他方法可以解这个方程吗？

解决方法

如果 O(n) 的时间复杂度为 set_bits，则存在时间复杂度为 O(1) 的解决方案。

首先，我们将稍微改写条件（按位方程）。假设给出了一对元素 (X,Y)。 c_01 代表 X 为 0 但 Y 为 1 的位数，c_10 代表 X 为 1 且 Y 为 0 的数字位数，c_11 代表其中的位数X 和 Y 为 1。例如，当 X=5 和 Y=1 (X=101,Y=001),c_01 = 0,c_10 = 1,c_11 = 1。现在，条件可以改写为

2 * (c_01 + c_10 + c_11) = M + (c_01 + c_10)

因为set_bits(X|Y) 等于c_01 + c_10 + c_11 并且set_bits(X^Y) 等于c_01 + c_10。 我们可以将方程重新排序为

c_01 + c_10 + 2*c_11 = M

通过将右侧的术语移动到左侧。现在，意识到 set_bits(X) = c_10 + c_11。将此信息应用于我们得到的方程

c_01 + c_11 = M - set_bits(X)

现在，还要意识到 set_bits(Y) = c_01 + c_11。方程变为

set_bits(Y) = M - set_bits(X)

或

set_bits(X) + set_bits(Y) = M

问题已经变成计算对的数量，使得第一个元素中的设置位数加上第二个元素中的设置位数等于 M。假设您可以在恒定时间内计算 set_bits，这可以在线性时间内完成。