我应该如何实现 3 参数向量四元数来表示旋转？

如何解决我应该如何实现 3 参数向量四元数来表示旋转？

由于单位四元数q=q0+qv(norm(q)=1)方便表示旋转，所以这种表示方式会有4个参数。能不能用单位四元数的向量部分，也就是qv来表示旋转?这将使用 3 个参数来呈现旋转。

问题1：如果有，有什么限制吗？比如单位四元数的第一个元素必须是0？

现在我有一个四轴飞行器动力学估计器，我使用 3 参数矢量四元数来表示旋转。关于我如何在Matlab中实现四元数乘法，如下所示：

function [r] = vec_quat_multiply(p,q)
 
%vector quaternion multiplycation 

p1=p(1);p2=p(2);p3=p(3); 

q1=q(1);q2=q(2);q3=q(3);

p0=sqrt(1-(p1^2+p2^2+p3^2)); q0=sqrt(1-(q1^2+q2^2+q3^2));

r=[p0q0-p1q1-p2q2-p3q3; p0q1+q0p1+p2q3-p3q2; p0q2+q0p2+p3q1-p1q3; p0q3+q0p3+p1q2-p2q1;];

r0=r(1)/norm(r); r1=r(2)/norm(r); r2=r(3)/norm(r); r3=r(4)/norm(r);

r=[real(r1);real(r2);real(r3)]; 

end

问题2：如果我使用上面的函数，并且随着时间的推移，由于计算精度的问题，当我计算单位四元数的第一个元素时(p0=sqrt(1−(p12+p22+p32) );q0=sqrt(1−(q12+q22+q32));用这两行来实现），有时会返回一个虚数。我该怎么办？