在其过滤过程中使用局部状态突变的方案中的 Eratosthenes 筛选

如何解决在其过滤过程中使用局部状态突变的方案中的 Eratosthenes 筛选

虽然 answering 最近的 question 我想出了以下代码，实现 Eratosthenes 筛的变体，反复剔除初始 2...n 序列,尽早停止：

(define (sieve2 n)
  (let ((ls (makelist n)))
    (let loop ((ls ls) 
               (next (sievehelper2 ls n)))
      (if (null? next)
          ls
          (cons (car ls) 
                (loop next (sievehelper2 ls n)))))))

(define (sievehelper2 list n)
  (if (> (* (car list) (car list)) n)
      '()
      (filterfunc (not-divisible-by (car list)) 
                  list)))

(define filterfunc filter)

(define (not-divisible-by n)
  (let ((m n))   ; the current multiple of n
    (lambda (x)
      (let ((ret (not (= x m))))
        (if (>= x m) (set! m (+ m n)) #f)
        ret))))

(define (makelist n)
  (range 2 (+ 1 n)))

在 Racket 中运行 (sieve 50) 会导致 '(2 3 3 5 5 7 7 11 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47)。

它有一些错误，这在结果中很明显，我没有立即看到它在哪里。这可能是我犯的一些愚蠢的错误，也可能是所使用的算法部分的一些根本性错位的表达，我不能说哪个是哪个。

请问这是什么错误，如何修复？

明确地说，我不是要求对代码进行算法改进，我希望计算结构在其中表达的保留。此外，我在链接问题中看到的挑战是设计缺失的函数——并改变 sieve 本身——同时保持 sievehelper 函数as given，向上在这个问题的代码中明显有一些小的改动。这也是我想在这个问题中提出的要求。

我对 sievehelper2 中对 sieve2 的两次调用也不满意。也许以某种方式修复代码结构也会使错误消失？

解决方法

问题出在这里：

(loop next (sievehelper2 ls n))

列表ls在此调用中第二次传递给sievehelper2；但 sievehelper2 需要处理 next：

(define (sieve2 n)
  (let ((ls (makelist n)))
    (let loop ((ls ls) 
               (next (sievehelper2 ls n)))
      (if (null? next)
          ls
          (cons (car ls) 
                (loop next (sievehelper2 next n)))))))

通过此更改，筛子似乎按预期工作：

sieve2.rkt> (sieve2 50)
'(2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47)

去掉 let 中的外部 sieve2 并只调用一次 sievehelper2 可能有助于代码清晰：

(define (sieve3 n)
  (let loop ((filtered '())
             (candidates (makelist n)))
    (if (null? candidates)
        filtered
        (cons (car candidates) 
              (loop (cdr candidates) (sievehelper2 candidates n))))))

这也按预期工作：

sieve2.rkt> (sieve3 50)
'(2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47)

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一些改进

我对上面的 sieve3 不满意。虽然我认为只显示一个对 sievehelper2 的调用有助于清晰，但仍然可以使代码更加清晰。

最初 sieve3 有一个 result 变量，此后已更改为 filtered。 result 描述性不够，无法提供帮助，我认为更改是一种改进；毕竟，filtered 确实包含过滤 candidates 列表的结果。不过，filtered 的初始值在这个意义上是没有意义的，因为 candidates 还没有被过滤。

更让我烦恼的是结构：

(cons (car candidates) 
      (loop (cdr candidates) (sievehelper2 candidates n)))

不太清楚 (car candidates) 是正在收集的素数，(cdr candidates) 是部分过滤的候选列表，或者目标是将已找到的素数添加到一个完全过滤的候选人名单。

这是 sieve 的改进版本，它使用显式累加器 primes 来保存遇到的素数。当 sievehelper2 返回一个空列表时，我们知道 filtered 列表已完全过滤掉非质数。最后，可以将找到的素数和完全过滤的候选列表附加在一起并返回（但不能在反转找到的素数列表之前，因为最近找到的素数位于 primes 的前面）。此 sieve 过程还具有尾递归的优点：

(define (sieve n)
  (let loop ((primes '())
             (filtered (makelist n)))
    (let ((next (sievehelper2 filtered n)))
      (if (null? next)
          (append (reverse primes) filtered)
          (loop (cons (car filtered) primes)
                next)))))

sieve2.rkt> (sieve 50)
'(2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47)