将整数数组变为非负整数数组

如何解决将整数数组变为非负整数数组

|| 从整数数组开始，以便值的总和是某个正整数S。以下例程始终以相同数量的步骤终止，并获得相同的结果。为什么是这样？从数组ѭ1开始，使得所有ѭ2都是整数。当出现否定条目时，请执行以下操作：选择任意索引i，使x_i < 0。在x_(i-1 % N)上加上to2ѭ（负数）。在x_(i+1 % N)上加上to2ѭ（负数）。将x_i替换为-x_i（正数）。该处理维持ѭ11的性质。对于任何给定的起始数组x，无论在任何步骤中选择哪个索引，执行这些步骤的次数都与所得向量相同。（至少对我而言）这个过程在有限的时间内终止甚至不是显而易见的，更不用说具有这种不错的不变性了。例：以x = [4,-1,-2]并翻转x_1开始，结果是

[4,-2]
[3,1,-3]
[0,-2,3]
[-2,2,1]
[2,-1]
[1,1]
[0,0]

另一方面，翻转ѭ16开始

[4,-2]
[2,-3,2]
[-1,3,-2]
[-1,2]
[1,0]

如果选择x_2而不是x_0来翻转第三个数组，则最后一种方法是使用从第三个倒数向下的数组反转此解决方案。在所有情况下，6步导致ѭ20。我有一个理由解释为什么这是正确的，但是在我看来，它过于复杂（与Coxeter小组有关）。有谁能更直接地思考为什么会发生这种情况？即使找到理由终止该协议，也是很好的。奖励指向任何找到一种确定给定数组的步骤数的方法的人（无需执行整个过程）。

解决方法

我认为，不管您在每一步选择什么索引，查看输出向量和步数为何相同的最简单方法是将问题视为一堆矩阵和向量乘法。对于x具有3个分量的情况，请将x视为3x1向量：x = [x_0 x_1 x_2]\'（其中\'是转置运算）。循环的每次迭代都将选择翻转x_0,x_1,x_2之一，并且它对ѭ12performs执行的运算与乘以以下矩阵之一相同：

      -1  0  0               1  1  0                1  0  1
s_0 =  1  1  0       s_1 =   0 -1  0        s_2 =   0  1  1
       1  0  1               0  1  1                0  0 -1

其中乘以s_0是在索引i=0，s_1对应于i=1，s_2对应于i=2时执行的运算。使用此视图，您可以将算法解释为在每次迭代时将对应的s_i矩阵乘以x。因此，在第一个示例中，首先将x_1翻转，该算法计算得出：s_1*s_2*s_0*s_1*s_2*s_1[4 -1 -2]\' = [0 1 0]\' 您选择的索引不会影响最终输出向量的事实来自于s矩阵的两个有趣属性。首先是s_i*s_(i-1)*s_i = s_(i-1)*s_i*s(i-1)，其中i-1是模数n的模数。该属性是查看为什么在包含3个元素的示例中获得相同结果的唯一需要的属性： s_1*s_2*s_0*s_1*s_2*s_1 = s_1*s_2*s_0*(s_1*s_2*s_1) = s_1*s_2*s_0*(s_2*s_1*s_2)，对应于开始时选择x_2，最后： s_1*s_2*s_0*s_2*s_1*s_2 = s_1*(s_2*s_0*s_2)*s_1*s_2 = s_1*(s_0*s_2*s_0)*s1*s2，对应于选择一开始翻转x_2，然后在第三次迭代中选择翻转x_0。第二个属性仅在x具有4个或更多元素时适用。每当k <= i-2以again41ѭ为模再次计算computed50ѭ时，便是s_i*s_k = s_k*s_i。当x具有4个元素时，当考虑矩阵形式时，此属性显而易见：

       -1  0  0  0          1  1  0  0          1  0  0  0          1  0  0  1
s_0 =   1  1  0  0   s_1 =  0 -1  0  0   s_2 =  0  1  1  0   s_3 =  0  1  0  0
        0  0  1  0          0  1  1  0          0  0 -1  0          0  0  1  1
        1  0  0  1          0  0  0  1          0  0  1  1          0  0  0 -1

第二个属性从本质上说，您可以交换发生无冲突翻转的顺序。例如，在4元素向量中，如果先翻转x_1然后翻转x_3，则与先翻转x_3然后翻转then14ѭ的效果相同。 , 我想象在两个方向上将负值推出，直到它们减弱为止。由于加法是可交换的，因此处理元素的顺序无关紧要。 ,这是一个N可以被3整除的观察结果……可能没有用，但我想写下来。令w（复数）为1的原始立方根；即w^3 = 1和1 + w + w^2 = 0。例如，w = cos(2pi/3) + i*sin(2pi/3)。考虑总和ѭ62。也就是说，将序列中的每个元素乘以consecutive58ѭ的连续幂，并将它们全部相加。每个步骤的总和都会发生一些有趣的事情。考虑序列中的三个连续数字[a,-b,c]，其中b为正。假设这些元素与ѭ58的幂对齐，使得这三个数字对总和贡献a - b*w + c*w^2。现在，对中间元素执行此步骤。在执行此步骤之后，这些数字将为总和贡献(a-b) + b*w + (c-b)*w^2。但是从since60ѭ开始，b + b*w + b*w^2 = 0也开始。因此，我们可以将其添加到前面的表达式中以获得a + 2*b*w + c。这与我们之前执行的步骤非常相似。换句话说，该步骤仅将“ 71”加到总和上。如果三个连续的数字排列有w的幂以表示（例如）a*w - b*w^2 + c，那么该步骤将增加3*b*w^2。换句话说，无论ѭ58power的幂与三个数字如何对齐，阶跃都会使和增加by76ѭ，3*b*w或or74ѭ。不幸的是，从ѭ79开始，这实际上并没有产生稳定增加的功能。因此，正如我所说，可能没有用。但是，似乎似乎仍然是一种合理的策略，即为每个步调单调变化的位置寻找一个“签名”。

将整数数组变为非负整数数组

如何解决将整数数组变为非负整数数组

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