如何解决组合优化-背包的变化
|| 这是一个实际的组合优化问题。 我们为特定产品提供了一系列价值主张。价值主张是不同的类型,但每种类型都是独立的,并为整个产品带来相同的利益。在构建产品时,我们可以包含每种类型的“单位”的任何非负整数。但是,在添加了某种类型的第一个单元后,该类型的其他单元的边际收益会不断降低。实际上,新单位的边际收益是添加新单位后该类型单位数量的倒数。我们的产品必须至少具有某种类型的单元,并且由于此要求,我们必须对整体值进行小的修正。 设“ 0”是代表产品在特定生产过程中每种类型的编号的数组。然后,总值V
由(伪代码)给出:
V = 1
For Each t in T
V = V * (t + 1)
Next t
V = V - 1 // correction
在成本方面,相同类型的单位具有相同的成本。但是,不同类型的单位各自具有独特的非理性成本。类型的数量很大,但是我们得到了一组类型成本ѭ3array,从最小到最大排序。让我们进一步假设类型数量数组T[]
也按成本从最小到最大排序。那么总成本U
就是每个单位成本的总和:
U = 0
For i = 0,i < NumOfValueTypes
U = U + T[i] * C[i]
Next i
到目前为止,一切都很好。所以这就是问题所在:给定值V
和成本U
的产品P
,找到成本U\'
和值V\'
的产品Q
,最小的U\'
使得U\' > U
,V\'/U\' > V/U
。
解决方法
您描述的问题是非线性整数编程问题,因为它包含整数变量
t
的乘积。由于存在严格的不等式,因此无法关闭其可行性集,可以通过使用非严格的不等式并在右侧添加一个小的正数(ε)来解决此问题。然后可以在AMPL中将问题表达如下:
set Types;
param Costs{Types}; # C
param GivenProductValue; # V
param GivenProductCost; # U
param Epsilon;
var units{Types} integer >= 0; # T
var productCost = sum {t in Types} units[t] * Costs[t];
minimize cost: productCost;
s.t. greaterCost: productCost >= GivenProductCost + Epsilon;
s.t. greaterValuePerCost:
prod {t in Types} (units[t] + 1) - 1 >=
productCost * GivenProductValue / GivenProductCost + Epsilon;
可以使用诸如Couenne之类的非线性整数编程求解器来解决此问题。
, 老实说,我认为没有简单的方法可以解决此问题。最好的办法是编写系统并使用求解器对其进行求解(Excel求解器可以解决问题,但您可以使用Ampl来解决此非lienar程序。)
该程序:
Define: U;
V;
C=[c1,...cn];
Variables: T=[t1,t2,...tn];
Objective Function: SUM(ti.ci)
Constraints:
For all i: ti integer
SUM(ti.ci) > U
(PROD(ti+1)-1).U > V.SUM(ti.ci)
它与excel配合得很好,(您只需将> U替换为> = U + d,其中d是成本的显着数量-(即,如果C = [1.1、1.8、3.0、9.3] d = 0.1),因为excel不会\不允许求解器中存在严格的不等式。)
我猜想像Ampl这样的真正求解器会完美地工作。
希望能帮助到你,
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