陈越《数据结构》第一讲 基本概念

1什么是数据结构

1.1 引子

例子：如何在书架上摆放图书？

1. 随便放；

2. 按照书名的拼音字母顺序排放；

3. 把书架划分成几块区域，每块区域指定摆放某种类别的图书；在每种类别内，按照书名的拼音字母顺序排放。

$\color{red}{解决问题方法的效率， 跟数据的组织方式有关。}$

例2：写程序实现一个函数PrintN，使得传入一个正整数为N的参数后，能顺序打印从1到N的全部正整数。

1. 循环实现；

2. 递归实现。//数值从$10到10^6$

$\color{red}{解决问题方法的效率， 跟空间的利用效率有关。}$

例3：写程序计算给定多项式在给定点x处的值。

1. 利用 $p += (a[i] * pow(x,i));$进行计算；

2. 秦九韶利用 $p = a[i-1] + x*p;$进行计算；

用 time.h中的常数CLK_TCK，clock_t start,stop;计算时间。

$\color{red}{解决问题方法的效率， 跟算法的巧妙程度有关。}$

即：解决问题方法的效率，跟数据的组织方式、跟空间的利用效率和跟算法的巧妙程度有关。

数据结构是：
1. $\color{red}{数据对象}$ 在计算机中的组织方式(逻辑结构、物理存储结构)；
2.数据对象必定与一系列加在其上的 $\color{red}{操作}$相关联；
3.完成这些操作所用的方法就是$\color{red}{算法}$。

1.2 抽象数据类型

数据结构
- 数据对象在计算机中的组织方式(逻辑结构、物理存储结构)；
-数据对象操作的关联关系；
-数据对象的最高效算法。

抽象数据类型

数据类型
- 数据对象集;
- 数据集合相关联的操作集。

抽象(描述数据类型的方法不依赖于具体实现)
- 与存放数据的机器无关;
- 与数据存储的物理结构无关;
- 与实现操作的算法和编程语言均无关。

2. 什么是算法

$\color{red}{算法（Algorithm ）}$定义：
1. 一个有限指令集;
2. 接受一些输入（有些情况下不需要输入）;
3. 产生输出(必须);
4. 一定在有限步骤之后终止；
5. 每一条指令必须：
- 有充分明确的目标，不可以有歧义；
- 计算机能处理的范围之内；
- 描述应不依赖于任何一种计算机语言以及具体的实现手段。

2.1什么是好的算法？

• $\color{red}{空间复杂度S(n)}$ 占用存储单元的长度。
• $\color{red}{时间复杂度T(n)}$ 耗费时间的长度。

在例3中，第一种方法的时间复杂度是$T(n) = C_1n^2+C_2n$；秦九韶的时间复杂度是$T(n) =C.n$。

在分析一般算法的效率时，我们经常关注下面
两种复杂度：
-$\color{red}{最坏情况复杂度}$$T_{worst}( n )$;
-$\color{red}{平均复杂度}$$T_{avg}( n )$。
其中我们最关心$\color{red}{最坏情况复杂度}$。

2.2 一些基本概念

$\color{red}{复杂度的渐进表示法}$
-$T(n) = O(f(n))$上界；
-$T(n) = Ω(g(n))$下界；
-$T(n) = Θ(h(n));Θ(h(n))=O(f(n))，Θ(h(n))=Ω(g(n))$。
$\color{red}{我们写{O(f(n))}时，是写最小上界，写Ω(g(n)时，是写最大下界，这样才有意义。}$

$\color{red}{复杂度的渐进表示法}$

1. 若两段算法分别有复杂度$T_1(n) = O(f_1(n))$和$T_2(n) =O(f_2(n))$，则:
   -$T_1(n)+T_2(n)=max( O(f_1(n)),O(f_2(n)))$;
   -$T1(n) * T2(n) = O( f1(n) * f2(n) )。$

2. 若T(n)是关于$\color{red}{n的k阶多项式}$，那么$\color{red}{T(n)=Θ(nk);}$

3. $\color{red}{一个for循环的时间复杂度}$等于循环次数乘以$\color{red}{循环体代码的复杂度；}$

4. $\color{red}{if-else 结构}$的复杂度取决于if的条件判断复杂度和两个分枝部分的复杂度，$\color{red}{总体复杂度取三者中最大；}$

5. $\color{red}{O(n^2)复杂度的算法本能的优化为O(n log n)。}$

3.应用实例：最大子列和问题

应用实例：最大子列和问题

//01 - 复杂度1 最大子列和问题(20分)
//例如给定序列{ -2,11,-4,13,-5,-2 }，其连续子列{ 11,13 }有最大的和20。现要求你编写程序，计算给定整数序列的最大子列和。
//
//本题旨在测试各种不同的算法在各种数据情况下的表现。各组测试数据特点如下：
//
//数据1：与样例等价，测试基本正确性；
//数据2：10^2个随机整数；
//数据3：10^3个随机整数；
//数据4：10^4个随机整数；
//数据5：10^5个随机整数；
//输入格式 :
//
//输入第1行给出正整数KK(\le 100000≤100000)；第2行给出KK个整数，其间以空格分隔。
//
//输出格式 :
//
//在一行中输出最大子列和。如果序列中所有整数皆为负数，则输出0。
//
//输入样例 :
//
//6
//- 2 11 - 4 13 - 5 - 2
//输出样例 :
//
// 20

$\color{red}{解决方法}:$
1. 时间复杂度为$T( N ) = O( N^3 )$;
2. 时间复杂度为$T( N ) = O( N^2 )$;
3. 时间复杂度为$T( N ) = O( N logN )$;（分而治之）
4. 时间复杂度为$T( N ) = O( N )$。（在线处理）

分而治之的代码：

#include<stdio.h>
#include<iostream>
#define MAXN 100000
int arr[MAXN + 10];

int maxThree(int a,int b,int c);
int maxSubSeq(int arr[],int low,int height);
int maxSubSeq1(int arr[],int n);
int main()
{
    int i,n;

    scanf("%d",&n);
    for(i = 0; i < n; i++)
        scanf("%d",&arr[i]); 
    printf("%d\n",maxSubSeq(arr,n-1));
    system("pause");
    return 0;
}
int maxSubSeq1(int arr[],int n)
{
    int i = 0,iThisSum = 0,iMaxSum = 0;
     for(i = 0; i < n; i++)
    {
        iThisSum += arr[i];
        if(iThisSum > iMaxSum) iMaxSum = iThisSum;
        else if(iThisSum < 0) iThisSum = 0;
    }
     return iMaxSum;
}
int maxSubSeq(int arr[],int height)
{
    int i = 0,iMid = 0,iLeftMax = 0,iRightMax = 0,iLeftMaxSum = 0,iRightMaxSum = 0;
    if(low >= height) return arr[low];
    iMid = (low + height)/2;
    iLeftMax = maxSubSeq(arr,low,iMid);//左边最大
    iRightMax = maxSubSeq(arr,(iMid+1),height);//右边最大
    //中间（跨越）最大
    iThisSum = iLeftMaxSum = 0;
    for(i = iMid ; i >low ; i-- )
    {
        iThisSum += arr[i];
        if(iThisSum > iLeftMaxSum) iLeftMaxSum = iThisSum;
    }
    iThisSum = iRightMaxSum = 0;
    for(i = iMid ; i <height ; i++)
    {
        iThisSum += arr[i];
        if(iThisSum > iRightMaxSum) iRightMaxSum = iThisSum;
    }

    return maxThree(iLeftMax,iRightMax,(iRightMaxSum + iLeftMaxSum));

}
int maxThree(int a,int c)
{
    int max = a;
    if(b > max) max = b;
    if(c > max) max = c;
    return max;
}